Questão 1. (2.0) Calcule
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt{x^{2}-1}-\sqrt{x+1}}{x^{2}-4}

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular o limite
\lim_{x\to2}\frac{\sqrt{x^{2}-1}-\sqrt{x+1}}{x^{2}-4}.
Conteúdo: limites de função com indeterminação do tipo 0/0. Vamos usar a técnica de racionalização do numerador para eliminar essa indeterminação.

Passo 2

Verificamos a substituição direta em x=2: \sqrt{2^2-1}-\sqrt{2+1}=\sqrt{3}-\sqrt{3}=0 e 2^2-4=0, logo obtemos 0/0. É uma forma indeterminada, então racionalizamos o numerador.

Passo 3

Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado \sqrt{x^2-1}+\sqrt{x+1}:
\frac{\sqrt{x^2-1}-\sqrt{x+1}}{x^2-4} = \frac{(\sqrt{x^2-1}-\sqrt{x+1})(\sqrt{x^2-1}+\sqrt{x+1})} {(x^2-4)\,(\sqrt{x^2-1}+\sqrt{x+1})} = \frac{x^2-1-(x+1)}{(x^2-4)\,(\sqrt{x^2-1}+\sqrt{x+1})} = \frac{x^2-x-2}{(x-2)(x+2)\,(\sqrt{x^2-1}+\sqrt{x+1})}.
Agora fatoramos x^2-x-2=(x-2)(x+1) e cancelamos (x-2), obtendo
\frac{x+1}{(x+2)\,(\sqrt{x^2-1}+\sqrt{x+1})}.

Passo 4

Tomamos o limite de x\to2 na expressão simplificada:
\lim_{x\to2}\frac{x+1}{(x+2)\,(\sqrt{x^2-1}+\sqrt{x+1})} = \frac{2+1}{(2+2)\,(\sqrt{4-1}+\sqrt{3})} = \frac{3}{4\,( \sqrt{3}+\sqrt{3})} = \frac{3}{4\cdot2\sqrt{3}} = \frac{3}{8\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{8}.

Resposta

\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{8}

Exercícios relacionados