Questão 2. (2.0) Para f(x)=e^{-2 x} \operatorname{sen}(5 x) tem-se que f^{\prime \prime}(x)=A e^{-2 x} \cos (5 x)+B e^{-2 x} \operatorname{sen}(5 x). Encontre os valores de A e B.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=e^{-2x}\operatorname{sen}(5x)
e diz que sua segunda derivada pode ser escrita como
f''(x)=A\,e^{-2x}\cos(5x)+B\,e^{-2x}\operatorname{sen}(5x).
O conteúdo aqui é a aplicação da regra do produto e da regra da cadeia para derivar funções exponenciais e trigonométricas. Nosso objetivo é achar f'(x), depois f''(x) e identificar os coeficientes A e B.

Passo 2

Calculamos f'(x) usando a regra do produto:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(e^{-2x}\bigr)\cdot\operatorname{sen}(5x)+e^{-2x}\cdot\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sen}(5x)\bigr).
Como \frac{d}{dx}e^{-2x}=-2e^{-2x} e \frac{d}{dx}\operatorname{sen}(5x)=5\cos(5x), obtemos
f'(x)=-2e^{-2x}\operatorname{sen}(5x)+5e^{-2x}\cos(5x) =e^{-2x}\bigl(5\cos(5x)-2\operatorname{sen}(5x)\bigr).

Passo 3

Agora aplicamos novamente a regra do produto para achar f''(x):
f''(x) =\frac{d}{dx}\bigl[e^{-2x}\bigr]\bigl(5\cos(5x)-2\operatorname{sen}(5x)\bigr) +e^{-2x}\frac{d}{dx}\bigl(5\cos(5x)-2\operatorname{sen}(5x)\bigr).
Temos \frac{d}{dx}e^{-2x}=-2e^{-2x} e
\frac{d}{dx}\bigl(5\cos(5x)-2\operatorname{sen}(5x)\bigr) =5\bigl(-5\operatorname{sen}(5x)\bigr)-2\bigl(5\cos(5x)\bigr) =-25\operatorname{sen}(5x)-10\cos(5x).
Logo,
f''(x) =-2e^{-2x}\bigl(5\cos(5x)-2\operatorname{sen}(5x)\bigr) +e^{-2x}\bigl(-25\operatorname{sen}(5x)-10\cos(5x)\bigr).

Passo 4

Juntando os termos em e^{-2x}:
f''(x) =e^{-2x}\Bigl[-2\cdot5\cos(5x)+2\cdot2\operatorname{sen}(5x)-25\operatorname{sen}(5x)-10\cos(5x)\Bigr] =e^{-2x}\Bigl(-20\cos(5x)-21\operatorname{sen}(5x)\Bigr).
Comparando com
f''(x)=A\,e^{-2x}\cos(5x)+B\,e^{-2x}\operatorname{sen}(5x),
vemos que
A=-20, \quad B=-21.

Resposta

A=-20 e B=-21.

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