Questão 2. (2.0) Usando a regra da cadeia, calcule h^{\prime}(x) para
h(x)=\sqrt{x+\sqrt{\operatorname{sen}^{2}(x)+\frac{1}{x}}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
h(x)=\sqrt{x+\sqrt{\operatorname{sen}^2(x)+\frac{1}{x}}}
Isso é típico de aplicação da regra da cadeia em cadeia: uma raiz exterior, depois a soma x+(\dots), depois outra raiz e por fim a função interna \operatorname{sen}^2(x)+1/x. Vamos derivar passo a passo.

Passo 2

Defina
u(x)=x+v(x), \quad v(x)=\sqrt{w(x)}, \quad w(x)=\operatorname{sen}^2(x)+\frac{1}{x}.
Então h(x)=\sqrt{u(x)}. A derivada de uma raiz é
h'(x) =\frac{1}{2\sqrt{u(x)}}\;u'(x).

Passo 3

Agora achamos u'(x). Como u(x)=x+v(x),
u'(x)=1+v'(x).
Falta v'(x).

Passo 4

Para v(x)=\sqrt{w(x)} usamos de novo a regra da cadeia:
v'(x) =\frac{1}{2\sqrt{w(x)}}\,w'(x).
E
w'(x) =\frac{d}{dx}\Bigl(\operatorname{sen}^2(x)\Bigr)+\frac{d}{dx}\Bigl(x^{-1}\Bigr) =2\operatorname{sen}(x)\cos(x)-\frac{1}{x^2}.
Logo
v'(x) =\frac{2\operatorname{sen}(x)\cos(x)-\tfrac{1}{x^2}}{2\sqrt{\operatorname{sen}^2(x)+\tfrac{1}{x}}}.

Passo 5

Juntando tudo temos
u'(x) =1 +\frac{2\operatorname{sen}(x)\cos(x)-\tfrac{1}{x^2}}{2\sqrt{\operatorname{sen}^2(x)+\tfrac{1}{x}}},
e portanto
h'(x) =\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}} =\frac{1+\dfrac{2\operatorname{sen}(x)\cos(x)-\tfrac{1}{x^2}}{2\sqrt{\operatorname{sen}^2(x)+\tfrac{1}{x}}}} {2\sqrt{x+\sqrt{\operatorname{sen}^2(x)+\tfrac{1}{x}}}}.

Resposta

h'(x) =\frac{1+\displaystyle\frac{2\operatorname{sen}(x)\cos(x)-\tfrac{1}{x^2}}{2\sqrt{\operatorname{sen}^2(x)+\tfrac{1}{x}}}} {2\sqrt{x+\sqrt{\operatorname{sen}^2(x)+\tfrac{1}{x}}}}.

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