Questão 1.
Calcule
,ou mostre que este limite não existe.
Calcule
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos estudar o limite de
quando
. O conteúdo é limite de função de duas variáveis e precisamos verificar se o valor é o mesmo em todas as direções de chegada.
Passo 2
Para começar, teste as retas coordenadas. Se escolhermos y=0, então
e se escolhermos x=0, obtemos
Em ambas as direções o limite dá 0.
Passo 3
Agora é hora de tentar um caminho que dê um resultado diferente. Uma escolha clássica é ligar y a x através de y=\sqrt{x}, com x>0. Assim garantimos que (x,y)→(0,0) quando x→0^+.
Passo 4
Substituindo y=\sqrt{x} em
vemos que
que tende a +∞ quando x→0^+.
Passo 5
Como ao longo de y=0 o limite é 0 e ao longo de y=\sqrt{x} a expressão diverge para +∞, o valor depende do caminho. Portanto o limite não existe.
Resposta
O limite não existe.