Questão 1.
Calcule lim (x, y) (0,0) x^2 yx^3+y^6,ou mostre que este limite não existe.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos estudar o limite de
x^2yx^3+y^6
quando (x,y)to(0,0). O conteúdo é limite de função de duas variáveis e precisamos verificar se o valor é o mesmo em todas as direções de chegada.

Passo 2

Para começar, teste as retas coordenadas. Se escolhermos y=0, então
x^2cdot0x^3+0^6=0
e se escolhermos x=0, obtemos
0^2,y0+y^6=0
Em ambas as direções o limite dá 0.

Passo 3

Agora é hora de tentar um caminho que dê um resultado diferente. Uma escolha clássica é ligar y a x através de y=\sqrt{x}, com x>0. Assim garantimos que (x,y)→(0,0) quando x→0^+.

Passo 4

Substituindo y=\sqrt{x} em
x^2yx^3+y^6,
vemos que
x^2cdot x^1/2x^3+(x^1/2)^6 =x^5/2x^3+x^3 =x^5/22x^3 =12,x^-1/2,
que tende a +∞ quando x→0^+.

Passo 5

Como ao longo de y=0 o limite é 0 e ao longo de y=\sqrt{x} a expressão diverge para +∞, o valor depende do caminho. Portanto o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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