Questão 3.
Considere a função
, em que
(a) ( 1,0 ponto) Encontre a equação do plano tangente ao gráfico de
no ponto
.
(b) ( 1,0 ponto) Determine a taxa de variação de
no ponto
na direção que liga este ponto ao ponto
.
(c) (1,5 ponto) Se
e
, calcule
e
utilizando a Regra da Cadeia para funções de duas variáveis.
Considere a função
(b) ( 1,0 ponto) Determine a taxa de variação de
(c) (1,5 ponto) Se
Passo 1
O enunciado pede três coisas: (a) o plano tangente ao gráfico de
no ponto
; (b) a taxa de variação de
em
na direção do vetor que leva a
; (c) as derivadas parciais
e
usando a regra da cadeia com
,
. Vamos precisar de derivadas parciais, gradiente, derivada direcional e regra da cadeia.
Passo 2
Para (a), primeiro encontramos as derivadas parciais de
:
Em
temos
A equação do plano tangente é dada por
, ou seja:
Passo 3
Para (b), a derivada direcional de
em
na direção de
é
onde
. Logo,
Passo 4
Para (c), usamos a regra da cadeia. Como
, com
,
, temos
Como
,
,
,
,
,
, obtemos
Resposta
(a)
(b)
(c)