Questão 3.
Considere a função z=f(x, y), em que
f(x, y)=raiz1+x^2+y^2
(a) ( 1,0 ponto) Encontre a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto (2,-2).
(b) ( 1,0 ponto) Determine a taxa de variação de f no ponto (2,-2) na direção que liga este ponto ao ponto (1,3).
(c) (1,5 ponto) Se x=r cos (theta) e y=r sen(theta), calcule partial zpartial r e partial zpartial theta utilizando a Regra da Cadeia para funções de duas variáveis.

Passo 1

O enunciado pede três coisas: (a) o plano tangente ao gráfico de z=f(x,y)=raiz1+x^2+y^2 no ponto (2,-2); (b) a taxa de variação de f em (2,-2) na direção do vetor que leva a (1,3); (c) as derivadas parciais partial z/partial r e partial z/partialtheta usando a regra da cadeia com x=rcostheta, y=rsintheta. Vamos precisar de derivadas parciais, gradiente, derivada direcional e regra da cadeia.

Passo 2

Para (a), primeiro encontramos as derivadas parciais de f:
fx(x,y)=xraiz1+x^2+y^2, fy(x,y)=yraiz1+x^2+y^2
Em (2,-2) temos
fx(2,-2)=23, fy(2,-2)=-23, f(2,-2)=3
A equação do plano tangente é dada por z-f(x0,y0)=fx(x0,y0)(x-x0)+fy(x0,y0)(y-y0), ou seja:
z-3=23(x-2)-23(y+2)

Passo 3

Para (b), a derivada direcional de f em (2,-2) na direção de v=(1-2,,3-(-2))=(-1,5) é
Duf(2,-2)=nabla f(2,-2)cdotu,
onde u=v/|v|=(-1,5)/raiz26. Logo,
Duf(2,-2)=l(tfrac23,-tfrac23r)cdotl(-tfrac1raiz26,tfrac5raiz26r)=-4raiz26

Passo 4

Para (c), usamos a regra da cadeia. Como z=f(x,y), com x=rcostheta, y=rsintheta, temos
partial zpartial r=fxpartial xpartial r+fypartial ypartial r,
partial zpartialtheta=fxpartial xpartialtheta+fypartial ypartialtheta
Como fx=x/raiz1+x^2+y^2, fy=y/raiz1+x^2+y^2, partial x/partial r=costheta, partial y/partial r=sintheta, partial x/partialtheta=-rsintheta, partial y/partialtheta=rcostheta, obtemos
partial zpartial r=r(cos^2theta+sin^2theta)raiz1+r^2=rraiz1+r^2,
partial zpartialtheta=-r^2costhetasintheta+r^2sinthetacosthetaraiz1+r^2=0

Resposta

(a) z-3=23(x-2)-23(y+2)
(b) Duf(2,-2)=-4raiz26
(c) partial zpartial r=rraiz1+r^2, partial zpartialtheta=0

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