é contínua em (0,0). O conteúdo aqui é limite de funções de duas variáveis e teste de continuidade num ponto, que pede mostrar que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0)=0
Passo 2
Para mostrar o limite usamos uma desigualdade que “prende” f entre duas funções de que conhecemos o comportamento. Observamos que, para (x,y)neq(0,0), sempre vale
x^2+y^6>= x^2>0,
portanto podemos estimar o valor absoluto de f por
Passo 3
Como o numerador é x^2y^4, temos
|f(x,y)|=|x^2y^4x^2+y^6|<=x^2y^4x^2=y^4
Note que, se x=0 e yneq0, então f(0,y)=0 e a desigualdade |f(0,y)|<= y^4 continua válida.
Passo 4
Como y^4to0 quando (x,y)to(0,0), pela desigualdade em bloco acima podemos usar o teorema do confronto (squeeze theorem) e concluir que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0
Passo 5
Portanto a função satisfaz
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0),
o que mostra que f é contínua em (0,0).
Resposta
A função f é contínua em (0,0) porque lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0=f(0,0).