Questão 2.
Seja a função
f(x, y)=cl x^2 y^4x^2+y^6, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)
Mostre que f é contínua no ponto (0,0).

Passo 1

Queremos verificar que a função de duas variáveis
f(x,y)=x^2y^4x^2+y^6,&(x,y)neq(0,0)0,&(x,y)=(0,0)
é contínua em (0,0). O conteúdo aqui é limite de funções de duas variáveis e teste de continuidade num ponto, que pede mostrar que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0)=0

Passo 2

Para mostrar o limite usamos uma desigualdade que “prende” f entre duas funções de que conhecemos o comportamento. Observamos que, para (x,y)neq(0,0), sempre vale
x^2+y^6>= x^2>0,
portanto podemos estimar o valor absoluto de f por

Passo 3

Como o numerador é x^2y^4, temos
|f(x,y)|=|x^2y^4x^2+y^6|<=x^2y^4x^2=y^4
Note que, se x=0 e yneq0, então f(0,y)=0 e a desigualdade |f(0,y)|<= y^4 continua válida.

Passo 4

Como y^4to0 quando (x,y)to(0,0), pela desigualdade em bloco acima podemos usar o teorema do confronto (squeeze theorem) e concluir que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0

Passo 5

Portanto a função satisfaz
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0),
o que mostra que f é contínua em (0,0).

Resposta

A função f é contínua em (0,0) porque lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0=f(0,0).

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