Seja
f(x, y)=x^3 y^2-6 x y+phi(y)
Determine uma função phi de modo que
partial fpartial y=2 x^3 y-6 x+yy^2+1

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=x^3y^2-6xy+phi(y)
e pede para determinar phi de modo que
partial fpartial y=2x^3y-6x+yy^2+1
Aqui o conteúdo é cálculo de derivada parcial em relação a y e integração de uma função de uma variável.

Passo 2

Vamos calcular diretamente a derivada parcial de f em relação a y. Como x é tratado como constante,
partialpartial yl(x^3y^2r)=2x^3y, partialpartial yl(-6xyr)=-6x, partialpartial yl(phi(y)r)=phi'(y)
Logo,
partial fpartial y =2x^3y-6x+phi'(y)

Passo 3

Para que essa expressão coincida com a dada em que
partial fpartial y=2x^3y-6x+yy^2+1,
precisamos ter
phi'(y)=yy^2+1

Passo 4

Agora integramos phi'(y) em relação a y:
phi(y)=integralyy^2+1,dy
Fazendo a substituição u=y^2+1, du=2y,dy, obtemos
phi(y) =12integralduu =12lnl(y^2+1r)+C,
onde C é constante de integração.

Resposta

phi(y)=12lnl(y^2+1r)+C,
sendo C uma constante arbitrária.

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