onde K é uma constante. Para qual valor de K a função g é contínua em R ? Justifique. Esboce o gráfico de g para o valor de K encontrado.
Passo 1
O enunciado nos dá uma função por partes
g(x)= cos x, & x<0, K, & x=0, 1 - x^2, & x>0,
e pede o valor de K que torne g contínua em R. O ponto potencial de descontinuidade é x=0, então vamos exigir que os limites lateral esquerdo e direito em 0 coincidam entre si e com g(0)=K.
Passo 2
Calcular o limite pela esquerda em 0:
limxto0^-g(x)=limxto0^-cos x=cos(0)=1
Calcular o limite pela direita em 0:
limxto0^+g(x)=limxto0^+(1 - x^2)=1-0=1
Para continuidade em 0, precisamos de
limxto0^-g(x)=limxto0^+g(x)=g(0)=K
Passo 3
Como ambos os limites laterais valem 1, concluímos que
K=1
Passo 4
Esboço do gráfico de g com K=1:
Para x<0, a curva é o gráfico de cos x.
Em x=0, colocamos um ponto preenchido em (0,1).
Para x>0, a curva é a parábola y=1 - x^2, que também passa por (0,1).
Resposta
O valor de K que torna g contínua em R é K=1. Desenhe então o ramo de cos x à esquerda de 0, o ponto (0,1) e a parábola 1 - x^2 à direita de 0.