Questão 1. Calcule o limite, se existir. Caso não exista, justifique por quê. Não é permitida a utilização da Regra de L’Hospital nesta prova.
\lim _{x \rightarrow 0}\left(e^{x}-1\right) \cos \left(\frac{e^{x}+2 x}{x^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 0}\left(e^{x}-1\right)\cos\!\left(\frac{e^{x}+2x}{x^{2}}\right).
Informações úteis que já temos do enunciado:
  • A função cosseno satisfaz, para todo t\in\mathbb{R}, -1\le \cos t\le 1.
  • A função exponencial é contínua em 0 e e^{0}=1, portanto e^{x}-1\to 0 quando x\to 0.
  • O argumento do cosseno \dfrac{e^{x}+2x}{x^{2}} tende para infinito quando x\to 0 (não precisamos do valor exato, só saber que ele diverge faz com que o cosseno oscile muito).

Passo 2

Usar que o cosseno é limitado permite controlar o produto. Escrevo a desigualdade em valor absoluto:
\left|\left(e^{x}-1\right)\cos\!\left(\frac{e^{x}+2x}{x^{2}}\right)\right| \le \left|e^{x}-1\right|\cdot\left|\cos\!\left(\frac{e^{x}+2x}{x^{2}}\right)\right|.
Como \left|\cos(\cdot)\right|\le 1 para todo argumento, obtemos
\left|\left(e^{x}-1\right)\cos\!\left(\frac{e^{x}+2x}{x^{2}}\right)\right| \le \left|e^{x}-1\right|.

Passo 3

Mostro que o lado direito da desigualdade vai para zero quando x\to 0. Pela continuidade da exponencial em 0,
\lim_{x\to 0} e^{x} = e^{0}=1.
Subtraindo 1 de ambos os lados da igualdade-limite segue que
\lim_{x\to 0}\left|e^{x}-1\right| = 0.
(Outra maneira intuitiva: para x pequeno temos a expansão e^{x}=1+x+\tfrac{x^{2}}{2}+\cdots, logo e^{x}-1\approx x e tende a 0.)

Passo 4

Aplicando o Teorema do Confronto (Teorema do Aperto / Squeeze), temos uma função f(x) tal que
-\left|e^{x}-1\right|\le \left(e^{x}-1\right)\cos\!\left(\frac{e^{x}+2x}{x^{2}}\right)\le \left|e^{x}-1\right|.
Como \lim_{x\to 0}\left|e^{x}-1\right|=0, as duas funções extremas convergem para 0. Pelo teorema do confronto, a função do meio também converge para 0.

Passo 5

Comentário didático e motivador: apesar do argumento do cosseno explodir e a função \cos oscilar infinitamente perto de 0, o fator multiplicador e^{x}-1 tende a 0 rápido o suficiente para anular essas oscilações. Esse é o mesmo princípio de limites clássicos como \lim_{x\to 0} x\sin(1/x)=0. Você consegue usar esse tipo de ideia na prova sem precisar de cálculo complicado — basta lembrar que funções limitadas multiplicadas por algo que tende a zero dão zero.

Resposta

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