Questão 1. Calcule o limite, se existir. Caso não exista, justifique por quê. Não é permitida a utilização da Regra de L’Hospital nesta prova. \lim _{x \rightarrow 0}\left(e^{x}-1\right) \cos \left(\frac{e^{x}+2 x}{x^{2}}\right)
A função cosseno satisfaz, para todo t\in\mathbb{R}, -1\le \cos t\le 1.
A função exponencial é contínua em 0 e e^{0}=1, portanto e^{x}-1\to 0 quando x\to 0.
O argumento do cosseno \dfrac{e^{x}+2x}{x^{2}} tende para infinito quando x\to 0 (não precisamos do valor exato, só saber que ele diverge faz com que o cosseno oscile muito).
Passo 2
Usar que o cosseno é limitado permite controlar o produto. Escrevo a desigualdade em valor absoluto:
Como \lim_{x\to 0}\left|e^{x}-1\right|=0, as duas funções extremas convergem para 0. Pelo teorema do confronto, a função do meio também converge para 0.
Passo 5
Comentário didático e motivador: apesar do argumento do cosseno explodir e a função \cos oscilar infinitamente perto de 0, o fator multiplicador e^{x}-1 tende a 0 rápido o suficiente para anular essas oscilações. Esse é o mesmo princípio de limites clássicos como \lim_{x\to 0} x\sin(1/x)=0. Você consegue usar esse tipo de ideia na prova sem precisar de cálculo complicado — basta lembrar que funções limitadas multiplicadas por algo que tende a zero dão zero.