2^a Questão: Calcule o limite, se existir:
lim x 0 raiz1+x^2-raiz1-x^2x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o limite quando x se aproxima de 0 da expressão:
lim x 0 raiz1+x^2-raiz1-x^2x^2
Estamos trabalhando com Cálculo de Limites, especificamente envolvendo funções com raízes quadradas. Para resolver isso, vamos precisar manipular a expressão para simplificar e conseguir calcular o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos observar o que acontece com o numerador e o denominador quando x se aproxima de 0. Se substituirmos x = 0 , teremos:
raiz1+0-raiz1-00 = 1 - 10 = 00
Essa forma indeterminada 00 nos indica que precisamos de uma técnica para simplificar a expressão. Uma boa estratégia aqui é racionalizar o numerador.

Passo 3

A racionalização do numerador envolve multiplicar e dividir a expressão pelo conjugado do numerador. O conjugado de raiz1+x^2 - raiz1-x^2 é raiz1+x^2 + raiz1-x^2 . Vamos fazer isso:
raiz1+x^2 - raiz1-x^2x^2 times raiz1+x^2 + raiz1-x^2raiz1+x^2 + raiz1-x^2

Passo 4

Multiplicando os numeradores e denominadores:
(raiz1+x^2 - raiz1-x^2)(raiz1+x^2 + raiz1-x^2)x^2(raiz1+x^2 + raiz1-x^2)
No numerador, usamos a identidade (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 :
(1 + x^2) - (1 - x^2)x^2(raiz1+x^2 + raiz1-x^2) = 2x^2x^2(raiz1+x^2 + raiz1-x^2)

Passo 5

Agora, simplificamos os x^2 no numerador e denominador:
2raiz1+x^2 + raiz1-x^2

Passo 6

Agora que simplificamos a expressão, podemos calcular o limite substituindo x = 0 :
lim x 0 2raiz1+0 + raiz1-0 = 21 + 1 = 22 = 1

Resposta

O limite é igual a 1.

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