Passo 1
O enunciado pede para encontrar a soma da série
Esse é um caso de série de potências que podemos tratar a partir da série geométrica e de suas derivadas. Vamos precisar de:
- A soma da série geométrica
. - Diferenciação termo a termo para obter
. - Subtrair os dois primeiros termos para ficar com
. - Simplificar o resultado.
Passo 2
Começamos com a série geométrica clássica, válida para
:
Derivando ambos os lados em relação a
e multiplicando por
para reindexar em
, temos
Multiplicando tudo por
, obtemos
Passo 3
Queremos a soma a partir de
. Então subtraímos os dois primeiros termos (
e
) da série anterior:
Passo 4
Agora vamos juntar em uma única fração sobre
:
Calculando
e simplificando, chega-se a