1. sumk=3^infty k x^k

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a soma da série
sumk=3^infty k,x^k
Esse é um caso de série de potências que podemos tratar a partir da série geométrica e de suas derivadas. Vamos precisar de:
  1. A soma da série geométrica sumk=0^inftyx^k.
  2. Diferenciação termo a termo para obter sumk=1^inftyk,x^k.
  3. Subtrair os dois primeiros termos para ficar com k>=3.
  4. Simplificar o resultado.

Passo 2

Começamos com a série geométrica clássica, válida para |x|<1:
sumk=0^inftyx^k = 11-x
Derivando ambos os lados em relação a x e multiplicando por x para reindexar em k,x^k, temos
ddxl(sumk=0^inftyx^kr)=sumk=1^inftyk,x^k-1 Longrightarrow sumk=1^inftyk,x^k-1=1(1-x)^2
Multiplicando tudo por x, obtemos
sumk=1^inftyk,x^k = x(1-x)^2

Passo 3

Queremos a soma a partir de k=3. Então subtraímos os dois primeiros termos ( k=1 e k=2) da série anterior:
sumk=3^inftyk,x^k = sumk=1^inftyk,x^k ;-; l(1cdot x^1 + 2cdot x^2r) = x(1-x)^2 ;-; x ;-; 2x^2

Passo 4

Agora vamos juntar em uma única fração sobre (1-x)^2:
x(1-x)^2 - x - 2x^2 = x - l(x+2x^2r)(1-x)^2(1-x)^2
Calculando l(x+2x^2r)(1-x)^2 = x,l(1 -2x + x^2r) + 2x^2,l(1 -2x + x^2r) e simplificando, chega-se a
3x^3 - 2x^4(1-x)^2 = x^3,(3-2x)(1-x)^2

Resposta

boxedsumk=3^inftyk,x^k = x^3,(3-2x)(1-x)^2, |x|<1

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