Questão 2 (3,0): Calcule os limites abaixo (Dica: dois existem e dois não).
\lim _{(x, y) \rightarrow(1,1)} \frac{x^{2} e^{x^{2}-y^{2}}}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{(x,y)\to(1,1)} \frac{x^{2} e^{x^{2}-y^{2}}}{x^{2}+y^{2}}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A variável é o par (x,y) em \mathbb{R}^2 aproximando-se do ponto (1,1).
  • A expressão é uma razão entre uma função no numerador x^{2} e^{x^{2}-y^{2}} e uma no denominador x^{2}+y^{2}.
  • Não há indicação de problemas óbvios no ponto (1,1) pelo enunciado; é nosso trabalho verificar se há algum problema (por exemplo, denominador zero) e então decidir a melhor técnica para calcular o limite.

Passo 2

Comentário sobre o que significa calcular limite em \mathbb{R}^2 (conceito usado aqui).
O limite \lim_{(x,y)\to(1,1)} f(x,y)=L significa que, para pontos (x,y) cada vez mais próximos de (1,1) (por qualquer direção), os valores f(x,y) ficam cada vez mais próximos de L. Uma ferramenta prática: se a função for contínua no ponto (1,1), então o limite existe e é simplesmente o valor da função nesse ponto. Logo, vamos verificar continuidade no ponto.

Passo 3

Verificação rápida do denominador no ponto (condição necessária para usar quociente de funções contínuas).
Calculemos o denominador em (1,1):
x^{2}+y^{2}\Big|_{(1,1)} = 1^{2}+1^{2} = 2.
Como 2\neq 0, o denominador não anula em (1,1). Isso abre caminho para usar propriedades de continuidade: se numerador e denominador são funções contínuas em (1,1) e o denominador é não nulo ali, então a razão é contínua no ponto e o limite é o valor da razão em (1,1).

Passo 4

Mostrar que cada parte é contínua (pequena aula sobre continuidade e composição).
  • A função (x,y)\mapsto x^{2} é polinomial em x (independente de y) e, portanto, contínua em todo \mathbb{R}^{2}.
  • A função (x,y)\mapsto y^{2} é polinomial em y e contínua em todo \mathbb{R}^{2}.
  • A soma (x,y)\mapsto x^{2}+y^{2} é soma de funções contínuas, logo contínua.
  • A diferença (x,y)\mapsto x^{2}-y^{2} é também contínua (diferença de contínuas).
  • A função exponencial t\mapsto e^{t} é contínua em \mathbb{R}. Pela composição, (x,y)\mapsto e^{x^{2}-y^{2}} é contínua (compor contínuas dá contínua).
  • O produto (x,y)\mapsto x^{2}\cdot e^{x^{2}-y^{2}} é produto de duas contínuas, portanto contínua.
    Conclusão: numerador e denominador são contínuos em (1,1) e o denominador é não nulo ali, então a função inteira
f(x,y)=\frac{x^{2} e^{x^{2}-y^{2}}}{x^{2}+y^{2}}
é contínua em (1,1). Pelo teorema da continuidade, o limite quando (x,y)\to(1,1) é o valor f(1,1).

Passo 5

Cálculo explícito substituindo (x,y)=(1,1).
Avalie o numerador em (1,1):
x^{2} e^{x^{2}-y^{2}}\Big|_{(1,1)} = 1^{2}\cdot e^{1^{2}-1^{2}} = 1\cdot e^{0} = 1.
Já computamos o denominador no Passo 3:
x^{2}+y^{2}\Big|_{(1,1)} = 2.
Portanto o valor da função em (1,1) é
f(1,1)=\frac{1}{2}.

Passo 6

Conclusão do limite usando continuidade.
Como f é contínua em (1,1), temos
\lim_{(x,y)\to(1,1)} \frac{x^{2} e^{x^{2}-y^{2}}}{x^{2}+y^{2}} = f(1,1)=\frac{1}{2}.
Se quiseres, uma maneira alternativa de ver isso sem falar formalmente de continuidade é observar que cada fator tende ao seu valor pontual e fazer a regra do limite (produto/razão), mas a explicação por continuidade é mais curta e segura.

Resposta

\dfrac{1}{2}

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