A variável é o par (x,y) em \mathbb{R}^2 aproximando-se do ponto (1,1).
A expressão é uma razão entre uma função no numerador x^{2} e^{x^{2}-y^{2}} e uma no denominador x^{2}+y^{2}.
Não há indicação de problemas óbvios no ponto (1,1) pelo enunciado; é nosso trabalho verificar se há algum problema (por exemplo, denominador zero) e então decidir a melhor técnica para calcular o limite.
Passo 2
Comentário sobre o que significa calcular limite em \mathbb{R}^2 (conceito usado aqui).
O limite \lim_{(x,y)\to(1,1)} f(x,y)=L significa que, para pontos (x,y) cada vez mais próximos de (1,1) (por qualquer direção), os valores f(x,y) ficam cada vez mais próximos de L. Uma ferramenta prática: se a função for contínua no ponto (1,1), então o limite existe e é simplesmente o valor da função nesse ponto. Logo, vamos verificar continuidade no ponto.
Passo 3
Verificação rápida do denominador no ponto (condição necessária para usar quociente de funções contínuas).
Calculemos o denominador em (1,1):
x^{2}+y^{2}\Big|_{(1,1)} = 1^{2}+1^{2} = 2.
Como 2\neq 0, o denominador não anula em (1,1). Isso abre caminho para usar propriedades de continuidade: se numerador e denominador são funções contínuas em (1,1) e o denominador é não nulo ali, então a razão é contínua no ponto e o limite é o valor da razão em (1,1).
Passo 4
Mostrar que cada parte é contínua (pequena aula sobre continuidade e composição).
A função (x,y)\mapsto x^{2} é polinomial em x (independente de y) e, portanto, contínua em todo \mathbb{R}^{2}.
A função (x,y)\mapsto y^{2} é polinomial em y e contínua em todo \mathbb{R}^{2}.
A soma (x,y)\mapsto x^{2}+y^{2} é soma de funções contínuas, logo contínua.
A diferença (x,y)\mapsto x^{2}-y^{2} é também contínua (diferença de contínuas).
A função exponencial t\mapsto e^{t} é contínua em \mathbb{R}. Pela composição, (x,y)\mapsto e^{x^{2}-y^{2}} é contínua (compor contínuas dá contínua).
O produto (x,y)\mapsto x^{2}\cdot e^{x^{2}-y^{2}} é produto de duas contínuas, portanto contínua.
Conclusão: numerador e denominador são contínuos em (1,1) e o denominador é não nulo ali, então a função inteira
f(x,y)=\frac{x^{2} e^{x^{2}-y^{2}}}{x^{2}+y^{2}}
é contínua em (1,1). Pelo teorema da continuidade, o limite quando (x,y)\to(1,1) é o valor f(1,1).
Passo 5
Cálculo explícito substituindo (x,y)=(1,1).
Avalie o numerador em (1,1):
Se quiseres, uma maneira alternativa de ver isso sem falar formalmente de continuidade é observar que cada fator tende ao seu valor pontual e fazer a regra do limite (produto/razão), mas a explicação por continuidade é mais curta e segura.