Questão 4(3,0) : Seja f(x, y)=y\left(x^{2}-y\right)-2 x^{2}.
(a) Calcule o gradiente \nabla f(x, y);
(b) Calcule a derivada direcional de f(x, y) em P=(1,2) na direção de \vec{w}=\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right).
(c) Encontre e classifique todos os pontos críticos de f(x, y).

Passo 1

Enunciado e o que é pedido:\n
Temos a função \displaystyle f(x,y)=y\bigl(x^{2}-y\bigr)-2x^{2}.\n
Perguntas:\n
(a) Calcular o gradiente \nabla f(x,y).\n
(b) Calcular a derivada direcional de f em P=(1,2) na direção de \vec{w}=\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right).\n
(c) Encontrar e classificar todos os pontos críticos de f(x,y).\n
Informações relevantes dadas pelo enunciado:\n
  • A expressão de f(x,y) está completa e correta.\n
  • O ponto para a derivada direcional é P=(1,2) e o vetor-direção é \vec{w}=\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right). Não foi pedido normalizar \vec{w}, mas verificaremos isso na prática.\n

Passo 2

Definição e cálculo das derivadas parciais (pré-requisito para o gradiente).\n
Breve explicação: a derivada parcial de f em relação a x, denotada \displaystyle f_x ou \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}, é a derivada tratando y como constante. De forma análoga, \displaystyle f_y é a derivada tratando x como constante.\n
Para facilitar os cálculos, primeiro expandimos f:\n
f(x,y)=x^{2}y-y^{2}-2x^{2}.
Agora calculamos cada parcial passo a passo:\n
Derivada parcial em relação a x:\n
  • Derivada de x^{2}y em relação a x (com y constante) é 2x y.\n
  • Derivada de -y^{2} em relação a x é 0 (não depende de x).\n
  • Derivada de -2x^{2} em relação a x é -4x.\n
    Somando:\n
f_{x}(x,y)=2xy-4x = 2x(y-2).\n
Derivada parcial em relação a y:\n
  • Derivada de x^{2}y em relação a y (com x constante) é x^{2}.\n
  • Derivada de -y^{2} em relação a y é -2y.\n
  • Derivada de -2x^{2} em relação a y é 0.\n
    Somando:\n
f_{y}(x,y)=x^{2}-2y.

Passo 3

Montagem do gradiente e interpretação.\n
Definição: o gradiente de f, \nabla f(x,y), é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais:\n
\nabla f(x,y)=\bigl(f_{x}(x,y),\,f_{y}(x,y)\bigr).
Substituindo os resultados do passo anterior:\n
\nabla f(x,y)=\bigl(2x(y-2),\,x^{2}-2y\bigr).

Passo 4

Derivada direcional: definição e preparação do cálculo.\n
Definição: a derivada direcional de f em P na direção de um vetor unitário \vec{u} é o produto escalar entre o gradiente em P e \vec{u}:\n
D_{\vec{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot \vec{u}.
Se o vetor-direção não for unitário, deve-se primeiro normalizá-lo. Vamos checar \vec{w}=\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right):\n
\|\vec{w}\|=\sqrt{\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}+\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\tfrac{1}{4}+\tfrac{3}{4}}=\sqrt{1}=1.
Portanto \vec{w} já é unitário e podemos usá-lo diretamente como \vec{u}=\vec{w}.\n
Calculamos \nabla f em P=(1,2):\n
\nabla f(1,2)=\bigl(2\cdot1\cdot(2-2),\,1^{2}-2\cdot2\bigr)=(0,\,-3).
Produto escalar com \vec{w}:\n
D_{\vec{w}}f(1,2)=\nabla f(1,2)\cdot \vec{w}=0\cdot\frac{1}{2}+(-3)\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{3\sqrt{3}}{2}.

Passo 5

Encontrar pontos críticos: sistema de equações.\n
Pontos críticos satisfazem \nabla f(x,y)=(0,0)\), ou seja o sistema\n \[\begin{cases} 2x(y-2)=0,\\[4pt] x^{2}-2y=0. \end{cases}
Resolver por casos da primeira equação:\n
Caso A: x=0\].\n - Substituindo na segunda: \(0^{2}-2y=0\Rightarrow -2y=0\Rightarrow y=0.\n
- Ponto crítico: (0,0).\n
Caso B: y=2.\n
- Substituindo na segunda: x^{2}-2\cdot 2=0\Rightarrow x^{2}-4=0\Rightarrow x^{2}=4\Rightarrow x=\pm 2.\n
- Pontos críticos: (2,2) e (-2,2).\n
Conclusão: os pontos críticos são \,(0,0),\,(2,2),\,(-2,2).]

Passo 6

Classificação dos pontos críticos pelo teste da segunda derivada (Hessiano).\n
Primeiro: calculamos as segundas derivadas parciais:\n
f_{xx}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2x(y-2)\bigr)=2(y-2),\n
f_{yy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}-2y\bigr)=-2,\n
f_{xy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2x(y-2)\bigr)=2x.
Matriz Hessiana:\n
H(x,y)=\begin{pmatrix}f_{xx} & f_{xy}\\[4pt] f_{xy} & f_{yy}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}2(y-2) & 2x\\[4pt] 2x & -2\end{pmatrix}.
Determinante do Hessiano (denotado D):\n
D(x,y)=f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^{2}=2(y-2)\cdot(-2)-(2x)^{2}=-4(y-2)-4x^{2}=-4\bigl(x^{2}+y-2\bigr).
Aplicamos o teste em cada ponto crítico:\n
  1. Em (0,0):\n
f_{xx}(0,0)=2(0-2)=-4,\qquad D(0,0)=-4\bigl(0^{2}+0-2\bigr)=-4(-2)=8>0.
Como D>0 e f_{xx}<0, temos um ponto de máximo local em (0,0).\n
2) Em (2,2):\n
f_{xx}(2,2)=2(2-2)=0,\qquad D(2,2)=-4\bigl(2^{2}+2-2\bigr)=-4(4)=-16<0.
Como D<0, (2,2) é ponto de sela.\n
3) Em (-2,2):\n
f_{xx}(-2,2)=2(2-2)=0,\qquad D(-2,2)=-4\bigl((-2)^{2}+2-2\bigr)=-4(4)=-16<0.
Como D<0, (-2,2) também é ponto de sela.\n]

Resposta

(a) \nabla f(x,y)=\bigl(2x(y-2),\,x^{2}-2y\bigr).\n
(b) D_{\vec{w}}f(1,2)=-\dfrac{3\sqrt{3}}{2}.\n
(c) Pontos críticos e classificação:\n
(0,0) — máximo local.\n
(2,2) — ponto de sela.\n
(-2,2) — ponto de sela.

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