Questão
: Seja
.
(a) Calcule o gradiente
;
(b) Calcule a derivada direcional de
em
na direção de
.
(c) Encontre e classifique todos os pontos críticos de
.
(a) Calcule o gradiente
(b) Calcule a derivada direcional de
(c) Encontre e classifique todos os pontos críticos de
Passo 1
Enunciado e o que é pedido:\n
Temos a função .\n
Perguntas:\n
(a) Calcular o gradiente .\n
(b) Calcular a derivada direcional de em
na direção de
.\n
(c) Encontrar e classificar todos os pontos críticos de .\n
Informações relevantes dadas pelo enunciado:\n
Temos a função
Perguntas:\n
(a) Calcular o gradiente
(b) Calcular a derivada direcional de
(c) Encontrar e classificar todos os pontos críticos de
Informações relevantes dadas pelo enunciado:\n
- A expressão de
está completa e correta.\n - O ponto para a derivada direcional é
e o vetor-direção é . Não foi pedido normalizar , mas verificaremos isso na prática.\n
Passo 2
Definição e cálculo das derivadas parciais (pré-requisito para o gradiente).\n
Breve explicação: a derivada parcial de em relação a
, denotada
ou
, é a derivada tratando
como constante. De forma análoga,
é a derivada tratando
como constante.\n
Para facilitar os cálculos, primeiro expandimos :\n
Breve explicação: a derivada parcial de
Para facilitar os cálculos, primeiro expandimos
Agora calculamos cada parcial passo a passo:\n
Derivada parcial em relação a :\n
Derivada parcial em relação a
- Derivada de
em relação a (com constante) é .\n - Derivada de
em relação a é (não depende de ).\n - Derivada de
em relação a é .\n
Somando:\n
Derivada parcial em relação a
:\n
- Derivada de
em relação a (com constante) é .\n - Derivada de
em relação a é .\n - Derivada de
em relação a é .\n
Somando:\n
Passo 3
Montagem do gradiente e interpretação.\n
Definição: o gradiente de ,
, é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais:\n
Definição: o gradiente de
Substituindo os resultados do passo anterior:\n
Passo 4
Derivada direcional: definição e preparação do cálculo.\n
Definição: a derivada direcional de em
na direção de um vetor unitário
é o produto escalar entre o gradiente em
e
:\n
Definição: a derivada direcional de
Se o vetor-direção não for unitário, deve-se primeiro normalizá-lo. Vamos checar
:\n
Portanto
já é unitário e podemos usá-lo diretamente como
.\n
Calculamos em
:\n
Calculamos
Produto escalar com
:\n
Passo 5
Encontrar pontos críticos: sistema de equações.\n
Pontos críticos satisfazem
Resolver por casos da primeira equação:\n
Caso A: .\n
- Ponto crítico: .\n
Caso B: .\n
- Substituindo na segunda: .\n
- Pontos críticos: e
.\n
Conclusão: os pontos críticos são .]
Caso A: .\n
- Ponto crítico:
Caso B:
- Substituindo na segunda:
- Pontos críticos:
Conclusão: os pontos críticos são
Passo 6
Classificação dos pontos críticos pelo teste da segunda derivada (Hessiano).\n
Primeiro: calculamos as segundas derivadas parciais:\n
Primeiro: calculamos as segundas derivadas parciais:\n
Matriz Hessiana:\n
Determinante do Hessiano (denotado
):\n
Aplicamos o teste em cada ponto crítico:\n
- Em
:\n
Como
e
, temos um ponto de máximo local em
.\n
2) Em :\n
2) Em
Como
,
é ponto de sela.\n
3) Em :\n
3) Em
Como
,
também é ponto de sela.\n]
Resposta
(a)
\n
(b) \n
(c) Pontos críticos e classificação:\n
— máximo local.\n
— ponto de sela.\n
— ponto de sela.
(b)
(c) Pontos críticos e classificação:\n