Sabendo-se que o azimute do alinhamento formado entre a estação 1 e a estação 2, EM TODOS OS ITENS DO EXERCÍCIO 01, é igual a 100^{\circ}, quais são os azimutes dos demais alinhamentos (Az23, Az34, …)? Lembre-se de utilizar os ângulos corrigidos para o cálculo dos azimutes.

Passo 1

O enunciado pede para determinar os azimutes dos alinhamentos seguintes: Az_{23}, Az_{34}, \ldots, sabendo que o azimute do alinhamento entre a estação 1 e a estação 2 é \;Az_{12}=100^\circ\; e que devo usar os ângulos corrigidos para o cálculo.
Informações que eu tenho do enunciado:
  • \;Az_{12}=100^\circ\;.
  • Devo usar os ângulos corrigidos (isto é, os ângulos internos após aplicação das correções).
Informações que faltam e que são necessárias para obter os azimutes numéricos:
  • Os valores dos ângulos internos corrigidos em cada estação: \theta_2,\theta_3,\theta_4,\ldots (ou, se fornecidos de outra forma, os ângulos de deflexão corrigidos).
    Sem esses ângulos corrigidos não é possível calcular numericamente Az_{23},Az_{34},\ldots.

Passo 2

O que é azimute e como ele se usa aqui (explicação simples):
  • O azimute de um alinhamento é a direção do segmento medido no sentido das horas, em graus a partir do norte geográfico (ou da referência adotada), variando de 0^\circ até 360^\circ.
  • Se sabemos o azimute de um segmento e conhecemos o ângulo interno corrigido na estação seguinte, podemos obter o azimute do próximo segmento girando a direção anterior pelo ângulo apropriado (explico a fórmula abaixo). Vou tratar tudo de forma prática, passo a passo, para você conseguir reproduzir isso na prova.

Passo 3

Relação prática entre azimute direto e azimute inverso (back azimuth):
  • Se conhecemos \;Az_{ij}\; (azimute do alinhamento de i para j), o azimute de retorno (de j para i) é:
Az_{ji} = Az_{ij} + 180^\circ \pmod{360^\circ}.
Isto significa que fazemos Az_{ij}+180^\circ e, se o resultado for \ge 360^\circ, subtraímos 360^\circ para ficar no intervalo [0^\circ,360^\circ).

Passo 4

Definição do ângulo interno corrigido e ângulo de deflexão (intuído e útil na prova):
  • Seja \theta_k o ângulo interno corrigido na estação k (ângulo entre a direção de entrada para k e a direção de saída de k, medido internamente ao polígono).
  • O ângulo de deflexão \delta_k (o quanto você “vira” da direção de entrada para a de saída, no sentido externo) é:
\delta_k = 180^\circ - \theta_k.
Geometricamente, se você chega em k vindo de k-1, gira-se em \delta_k para apontar para k+1.

Passo 5

Fórmula para obter o azimute do próximo alinhamento (derivação curta e clara):
  • Chegando em k vindo de k-1, a direção de entrada em k (back azimuth) é
Az_{k,k-1} = Az_{k-1,k} + 180^\circ \pmod{360^\circ}.
  • Ao sair de k para k+1, adicionamos o ângulo de deflexão \delta_k:
Az_{k,k+1} = Az_{k,k-1} + \delta_k \pmod{360^\circ}.
  • Substituindo \delta_k = 180^\circ - \theta_k e fazendo a conta:
Az_{k,k+1} = \bigl(Az_{k-1,k} + 180^\circ\bigr) + \bigl(180^\circ - \theta_k\bigr) \pmod{360^\circ}.
Az_{k,k+1} = Az_{k-1,k} + 360^\circ - \theta_k \pmod{360^\circ}.
Como somar 360^\circ não altera o valor módulo 360^\circ, obtemos a forma prática e muito conveniente:
Az_{k,k+1} = Az_{k-1,k} - \theta_k \pmod{360^\circ}.
Essa fórmula é muito útil na prova porque permite calcular o azimute seguinte subtraindo simplesmente o ângulo interno corrigido da azimute conhecida do segmento anterior.

Passo 6

Como aplicar a fórmula na prática (passo a passo para cada estação):
  1. Pegue \;Az_{12} (dado no enunciado: \;Az_{12}=100^\circ).
  2. Para obter \;Az_{23}, use:
Az_{23} = Az_{12} - \theta_2 \pmod{360^\circ}.
  1. Para obter \;Az_{34}, use:
Az_{34} = Az_{23} - \theta_3 \pmod{360^\circ}.
  1. E assim por diante: para cada k\ge 2,
Az_{k,k+1} = Az_{k-1,k} - \theta_k \pmod{360^\circ}.
  1. Normalização: se o resultado for negativo, some 360^\circ. Se for \ge 360^\circ, subtraia 360^\circ. O resultado final deve ficar no intervalo [0^\circ,360^\circ).

Passo 7

Exemplo numérico ilustrativo (valores hipotéticos para você ver o processo):
Suponha que os ângulos internos corrigidos sejam (apenas exemplo): \theta_2=60^\circ,\;\theta_3=95^\circ,\;\theta_4=120^\circ. Começando em \;Az_{12}=100^\circ:
  • Calcule \;Az_{23}:
Az_{23} = 100^\circ - 60^\circ = 40^\circ.
  • Calcule \;Az_{34}:
Az_{34} = 40^\circ - 95^\circ = -55^\circ \Rightarrow -55^\circ + 360^\circ = 305^\circ.
  • Calcule \;Az_{45} (se precisar):
Az_{45} = 305^\circ - 120^\circ = 185^\circ.
Isso mostra como aplicar a fórmula sequencialmente e como normalizar quando o resultado fica negativo.

Passo 8

O que exatamente eu preciso que você (ou a prova) forneça para eu dar os valores numéricos pedidos:
  • Os ângulos internos corrigidos em cada estação: \theta_2,\theta_3,\theta_4,\ldots.
    Com esses valores eu aplico a fórmula do Passo 6 e obtenho imediatamente Az_{23},Az_{34},\ldots. Se os ângulos forem apresentados como ângulos de deflexão corrigidos \delta_k, a fórmula equivalente é:
Az_{k,k+1} = Az_{k,k-1} + \delta_k \pmod{360^\circ},
usando Az_{k,k-1}=Az_{k-1,k}+180^\circ.

Passo 9

Resumo final e encorajamento:
  • Método curto que você deve decorar para a prova: a cada estação, subtrair o ângulo interno corrigido da azimute anterior e ajustar módulo 360^\circ:
\boxed{Az_{k,k+1} = Az_{k-1,k} - \theta_k \pmod{360^\circ}.}
  • Se quiser, me manda agora os ângulos corrigidos \theta_2,\theta_3,\ldots e eu calculo rapidinho os azimutes numéricos pra você — faço passo a passo mostrando cada normalização. Você consegue isso! 😃

Resposta

Não é possível determinar numericamente Az_{23},Az_{34},\ldots porque os ângulos internos corrigidos \theta_2,\theta_3,\ldots não foram fornecidos.

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