Questão 2: Determine:
(10Pts) As assíntotas verticais à função f, dada por f(x)=\frac{x-1}{x^{2}+2 x}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar as assimptotas verticais da função racional
f(x)=\frac{x-1}{x^{2}+2x}.
O conteúdo necessário é identificar os pontos em que o denominador zera e verificar se não há cancelamento com o numerador, pois nesses pontos a função pode divergir para \pm\infty, caracterizando uma assimptota vertical.

Passo 2

Fatoramos o denominador e identificamos seus zeros:
x^{2}+2x = x(x+2),
logo os pontos críticos são \,x=0 e \,x=-2. O numerador x-1 zera em x=1, que não coincide com esses valores. Portanto, não há cancelamento de fatores, e x=0 e x=-2 são candidatos a assimptotas verticais.

Passo 3

Basta verificar que, ao nos aproximarmos de x=0 ou x=-2, o denominador tende a zero enquanto o numerador tende a um valor finito não nulo, fazendo f(x)\to\pm\infty. Por exemplo,
\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}\frac{x-1}{x(x+2)}=\frac{-1}{0^+\,\cdot2}=-\infty,
o que confirma a existência de assimptota vertical em x=0. O mesmo raciocínio vale para x=-2.

Resposta

As assimptotas verticais são \,x=0 \,x=-2

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