Questão 3
2,5
Calcule
, onde
é o hemisfério sólido
.
2,5
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla
, onde
é o hemisfério sólido definido por
e
. Isso envolve cálculo em três dimensões, usando coordenadas esféricas para facilitar a integração sobre o hemisfério.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração
. É um hemisfério com raio 2 (já que
corresponde a raio
) localizado na parte superior do sistema de coordenadas (porque
). Para integrar sobre essa região, as coordenadas esféricas são a melhor escolha.
Passo 3
Nas coordenadas esféricas, temos:
-
-
-
E o elemento de volumeé dado por .
Passo 4
Vamos reescrever a função que vamos integrar,
, em coordenadas esféricas:
Isso simplifica para
.
Passo 5
Agora, vamos estabelecer os limites de integração:
-
varia de 0 a 2 (raio do hemisfério). -
varia de 0 a (já que , cobrindo de cima do hemisfério). -
varia de 0 a (completando a volta ao redor do eixo z).
Passo 6
Vamos montar a integral tripla em coordenadas esféricas:
Passo 7
Primeiro, integramos em relação a
:
Calculando as integrais separadamente:
Então:
Passo 8
Agora, integramos em relação a
:
Calculando:
Portanto:
Passo 9
Por último, integramos em relação a
:
Resposta
O valor da integral tripla é
.