Questão 3
2,5
Calcule integral triplaE(4-x^2-y^2) d V, onde E é o hemisfério sólido x^2+y^2+z^2 <= 4, z >= 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla integral triplaE(4 - x^2 - y^2) dV, onde E é o hemisfério sólido definido por x^2 + y^2 + z^2 <= 4 e z >= 0. Isso envolve cálculo em três dimensões, usando coordenadas esféricas para facilitar a integração sobre o hemisfério.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração E. É um hemisfério com raio 2 (já que x^2 + y^2 + z^2 <= 4 corresponde a raio r = 2) localizado na parte superior do sistema de coordenadas (porque z >= 0). Para integrar sobre essa região, as coordenadas esféricas são a melhor escolha.

Passo 3

Nas coordenadas esféricas, temos:
  • x = r sinphi costheta
  • y = r sinphi sintheta
  • z = r cosphi
    E o elemento de volume dV é dado por r^2 sinphi , dr , dphi , dtheta.

Passo 4

Vamos reescrever a função que vamos integrar, 4 - x^2 - y^2, em coordenadas esféricas:
4 - x^2 - y^2 = 4 - r^2 sin^2phi cos^2theta - r^2 sin^2phi sin^2theta = 4 - r^2 sin^2phi (cos^2theta + sin^2theta) = 4 - r^2 sin^2phi
Isso simplifica para 4 - r^2 sin^2phi.

Passo 5

Agora, vamos estabelecer os limites de integração:
  • r varia de 0 a 2 (raio do hemisfério).
  • phi varia de 0 a pi2 (já que z >= 0, cobrindo de cima do hemisfério).
  • theta varia de 0 a 2pi (completando a volta ao redor do eixo z).

Passo 6

Vamos montar a integral tripla em coordenadas esféricas:
integral triplaE (4 - x^2 - y^2) dV = integral0^2pi integral0^pi2 integral0^2 (4 - r^2 sin^2phi) r^2 sinphi , dr , dphi , dtheta

Passo 7

Primeiro, integramos em relação a r:
integral0^2 (4 - r^2 sin^2phi) r^2 sinphi , dr = sinphi integral0^2 (4r^2 - r^4 sin^2phi) dr
Calculando as integrais separadamente:
integral0^2 4r^2 dr = 4 [r^33]0^2 = 4 (83) = 323
integral0^2 r^4 dr = [r^55]0^2 = 325
Então:
sinphi (323 - sin^2phi cdot 325) = 323 sinphi - 325 sin^3phi

Passo 8

Agora, integramos em relação a phi:
integral0^pi2 (323 sinphi - 325 sin^3phi) dphi = 323 [-cosphi]0^pi2 - 325 [sin^4phi4]0^pi2
Calculando:
323 (0 - (-1)) = 323
325 cdot 14 (1 - 0) = 85
Portanto:
323 - 85 = 16015 - 2415 = 13615

Passo 9

Por último, integramos em relação a theta:
integral0^2pi 13615 dtheta = 13615 cdot 2pi = 272pi15

Resposta

O valor da integral tripla é 272pi15.

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