Seja R a região delimitada pela x=2 y e a parábola y^2=x.
Escreva uma integral para o cálculo do volume do sólido de revolução S1 obtido ao girar a região R em torno do eixo y utilizando o método das fatias (Não é necessário calcular a integral).

Passo 1

O enunciado dá a região R no plano xy limitada pela reta x=2y e pela parábola y^2=x. Queremos o volume do sólido S1 obtido ao girar R em torno do eixo y, usando o método das fatias (lavadores).

Passo 2

Encontramos os pontos de interseção entre x=2y e y^2=x resolvendo
y^2 = 2y Longrightarrow y(y-2)=0 Longrightarrow y=0,;2
Logo a região varia para yin[0,2].

Passo 3

Para cada y entre 0 e 2, a fatia perpendicular ao eixo y é um anel (lavador) com:
  • raio externo R(y) igual à distância do eixo y até x=2y, ou seja R(y)=2y;
  • raio interno r(y) igual à distância do eixo y até x=y^2, ou seja r(y)=y^2.

Passo 4

O volume de uma fatia de espessura dy é
dV =pil[R(y)^2 - r(y)^2r],dy =pil[(2y)^2 - (y^2)^2r]dy =pil(4y^2 - y^4r)dy

Passo 5

Integramos de y=0 a y=2 para obter o volume total:
V =integral0^2pil(4y^2 - y^4r),dy

Resposta

V=integral0^2pil(4y^2 - y^4r),dy

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