Seja R a região delimitada pela x=2 y e a parábola y^2=x.
Considere agora S2 ser o sólido de revolução obtido ao girar a mesma região R em torno do eixo x. Escreva uma integral para o cálculo do volume do sólido S2 utilizando o método das fatias (Não é necessário calcular a integral).

Passo 1

O enunciado dá a região R limitada pelas curvas
x = 2y e y^2 = x
e pede o volume do sólido S2 obtido ao girar R em torno do eixo x usando o método das fatias (seções transversais perpendiculares ao eixo de revolução).

Passo 2

Primeiro encontramos os pontos de interseção de x=2y e y^2 = x. Substituindo x=2y em y^2=x vem
y^2 = 2y ;;Longrightarrow;; y(y-2)=0 ;;Longrightarrow;; y=0 ou y=2
Assim x=2y x=0 em y=0 e x=4 em y=2. Logo o intervalo de x é de 0 a 4.

Passo 3

Para cada xin[0,4], a região vertical fica entre as duas curvas escritas como funções y:
ysuperior = raizx, yinferior = x2
Ao girar em torno do eixo x, cada fatia numa posição x é uma “arruela” de raio externo raizx e raio interno x/2. A área dessa fatia é
A(x) = pil[l(raizxr)^2 - l(tfracx2r)^2r] = pil(x - x^24r)

Passo 4

O volume vem de somar essas fatias de espessura dx ao longo de x de 0 até 4, ou seja
V = integral0^4 A(x),dx = integral0^4 pil(x - x^24r),dx

Resposta

V = pi integral0^4 l(x - tfracx^24r),dx

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