Questão 3: Calcule, se possível, os seguintes limites:
(9 pontos ) \lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(\frac{3}{3+x}\right)^{\frac{1+3 x}{x}}.

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 0^{+}}\left(\frac{3}{3+x}\right)^{\frac{1+3x}{x}}.
Informações dadas:
  • A função considerada é f(x)=\left(\dfrac{3}{3+x}\right)^{\frac{1+3x}{x}}.
  • O limite é tomado quando x tende a 0 pela direita ( x\to0^{+}).
    O que se pede: calcular o valor numérico desse limite, se existir.

Passo 2

Vamos analisar a forma indeterminada. Quando x\to0^{+}:
\frac{3}{3+x}\to\frac{3}{3}=1, \qquad \frac{1+3x}{x}=\frac{1}{x}+3\to +\infty.
Logo a expressão tem a forma indeterminada 1^{\infty}. Esse tipo de indeterminação costuma ser resolvido passando para o logaritmo natural e transformando o problema numa forma do tipo \text{(pequeno)}\times\text{(grande)}, para a qual existe um resultado padrão.

Passo 3

Defino a expressão cujo limite quero como y(x):
y(x)=\left(\frac{3}{3+x}\right)^{\frac{1+3x}{x}}.
Se o limite \lim_{x\to0^+} y(x) existir e for positivo, posso calcular o limite do logaritmo e depois aplicar a exponencial. Assim considero
\ln y(x)=\frac{1+3x}{x}\,\ln\!\left(\frac{3}{3+x}\right).
Vou calcular \lim_{x\to0^+}\ln y(x) e, no final, exponencio para recuperar o limite original.

Passo 4

Reescrevo o logaritmo da base de forma conveniente. Note que
\frac{3}{3+x}=1+\left(\frac{3}{3+x}-1\right)=1-\frac{x}{3+x}.
Defino
u(x)=-\frac{x}{3+x},
então \dfrac{3}{3+x}=1+u(x) e u(x)\to0 quando x\to0. Assim
\ln y(x)=\frac{1+3x}{x}\,\ln(1+u(x)).

Passo 5

Uso a identidade \dfrac{\ln(1+u)}{u}\to1 quando u\to0 (é um limite fundamental, frequentemente provado com série ou regra de l’Hôpital). Reescrevo o produto para aproveitar isso:
\ln y(x)=\frac{1+3x}{x}\,u(x)\,\frac{\ln(1+u(x))}{u(x)}.
Agora calculo \dfrac{1+3x}{x}\,u(x):
\frac{1+3x}{x}\,u(x)=\frac{1+3x}{x}\left(-\frac{x}{3+x}\right)=-\frac{1+3x}{3+x}.
Tomando o limite x\to0^{+} obtemos
\lim_{x\to0^{+}}\left(-\frac{1+3x}{3+x}\right)=-\frac{1}{3}.
Como \dfrac{\ln(1+u(x))}{u(x)}\to1, pelo produto de limites segue que
\lim_{x\to0^{+}}\ln y(x)=-\frac{1}{3}.

Passo 6

Como \lim_{x\to0^{+}}\ln y(x)=-\dfrac{1}{3} e a função exponencial é contínua, o limite original é
\lim_{x\to0^{+}} y(x)=\exp\!\left(\lim_{x\to0^{+}}\ln y(x)\right)=\exp\!\left(-\frac{1}{3}\right)=e^{-\tfrac{1}{3}}.
Pronto — chegamos ao resultado. Se estiver cansado: faltou pouco, você mandou bem acompanhando cada passo!

Resposta

e^{-\tfrac{1}{3}}

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