Questão 3: Calcule, se possível, os seguintes limites:
pontos
.
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas:
- A função considerada é
. - O limite é tomado quando
tende a pela direita ( ).
O que se pede: calcular o valor numérico desse limite, se existir.
Passo 2
Vamos analisar a forma indeterminada. Quando
:
Logo a expressão tem a forma indeterminada
. Esse tipo de indeterminação costuma ser resolvido passando para o logaritmo natural e transformando o problema numa forma do tipo
, para a qual existe um resultado padrão.
Passo 3
Defino a expressão cujo limite quero como
:
Se o limite
existir e for positivo, posso calcular o limite do logaritmo e depois aplicar a exponencial. Assim considero
Vou calcular
e, no final, exponencio para recuperar o limite original.
Passo 4
Reescrevo o logaritmo da base de forma conveniente. Note que
Defino
então
e
quando
. Assim
Passo 5
Uso a identidade
quando
(é um limite fundamental, frequentemente provado com série ou regra de l’Hôpital). Reescrevo o produto para aproveitar isso:
Agora calculo
:
Tomando o limite
obtemos
Como
, pelo produto de limites segue que
Passo 6
Como
e a função exponencial é contínua, o limite original é
Pronto — chegamos ao resultado. Se estiver cansado: faltou pouco, você mandou bem acompanhando cada passo!