Questão 3: Calcule, se possível, os seguintes limites:
(9 pontos) \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{2-\sqrt[3]{8-x^{2}}}{x^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 0^{+}} \frac{2-\sqrt[3]{8-x^{2}}}{x^{2}}.
Informações importantes dadas:
  • A função no numerador envolve uma raiz cúbica: \sqrt[3]{8-x^{2}}.
  • A variável x tende para 0 pela direita ( x\to0^{+}), portanto x é pequeno e positivo.
  • Ao substituir x=0 diretamente, o numerador fica 2-\sqrt[3]{8}=2-2=0 e o denominador fica 0, ou seja temos a forma indeterminada \tfrac{0}{0}.

Passo 2

Entendendo a forma indeterminada \tfrac{0}{0} e por que não podemos concluir o limite só substituindo: quando uma expressão dá \tfrac{0}{0} ao avaliar o ponto, o comportamento da razão depende das taxas com que numerador e denominador tendem a zero. Nessas situações é necessário manipular algebricamente ou usar ferramentas como a regra de L’Hôpital. Aqui é mais simples usar uma manipulação algébrica ligada à factorização de diferenças de cubos.
Breve lembrança sobre fatoração de cubos (fórmula útil): para quaisquer a e b,
a^{3}-b^{3}=(a-b)\bigl(a^{2}+ab+b^{2}\bigr).
Isto nos permite “racionalizar” expressões com diferença envolvendo raízes cúbicas.

Passo 3

Faça a substituição natural para tornar explícita a raiz cúbica. Defina
y=\sqrt[3]{8-x^{2}}.
Então por definição temos
y^{3}=8-x^{2}.
Observe que quando x\to0^{+} temos y\to\sqrt[3]{8}=2.

Passo 4

Usar a fatoração de diferença de cubos com a=2 e b=y:
2^{3}-y^{3}=(2-y)\bigl(2^{2}+2y+y^{2}\bigr).
Isto é
8-y^{3}=(2-y)\bigl(4+2y+y^{2}\bigr).
Mas de y^{3}=8-x^{2} segue 8-y^{3}=x^{2}. Portanto podemos multiplicar numerador e denominador da nossa razão por \bigl(4+2y+y^{2}\bigr) para simplificar:
\frac{2-y}{x^{2}} = \frac{(2-y)\bigl(4+2y+y^{2}\bigr)}{x^{2}\bigl(4+2y+y^{2}\bigr)} = \frac{8-y^{3}}{x^{2}\bigl(4+2y+y^{2}\bigr)}.
Substituindo 8-y^{3}=x^{2} obtemos uma simplificação imediata:
\frac{2-y}{x^{2}}=\frac{x^{2}}{x^{2}\bigl(4+2y+y^{2}\bigr)}=\frac{1}{4+2y+y^{2}},
válida sempre que x\neq0 (e portanto y definido conforme acima).

Passo 5

Agora que a expressão foi simplificada, basta tomar o limite quando x\to0^{+}. Lembrando que y=\sqrt[3]{8-x^{2}} e que y\to2 quando x\to0^{+}, temos
\lim_{x\to0^{+}}\frac{2-\sqrt[3]{8-x^{2}}}{x^{2}} = \lim_{x\to0^{+}}\frac{1}{4+2y+y^{2}} = \frac{1}{4+2\cdot 2 + 2^{2}}.
Calcule o denominador:
4+2\cdot 2 + 2^{2}=4+4+4=12.
Logo o limite é \dfrac{1}{12}.

Passo 6

Comentário pedagógico rápido (opcional para a prova): outra abordagem seria usar expansão em série (desenvolvimento de Taylor) da função t\mapsto \sqrt[3]{t} em torno de t=8, ou aplicar a regra de L’Hôpital duas vezes (mas isso daria derivadas mais trabalhosa). A fatoração de cubos é mais direta aqui e costuma ser a forma mais prática em provas sem calculadora.

Resposta

\dfrac{1}{12}

Exercícios relacionados