Questão 3: Calcule, se possível, os seguintes limites:
(9 pontos)
.
(9 pontos)
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações importantes dadas:
- A função no numerador envolve uma raiz cúbica:
. - A variável
tende para pela direita ( ), portanto é pequeno e positivo. - Ao substituir
diretamente, o numerador fica e o denominador fica , ou seja temos a forma indeterminada .
Passo 2
Entendendo a forma indeterminada
e por que não podemos concluir o limite só substituindo: quando uma expressão dá
ao avaliar o ponto, o comportamento da razão depende das taxas com que numerador e denominador tendem a zero. Nessas situações é necessário manipular algebricamente ou usar ferramentas como a regra de L’Hôpital. Aqui é mais simples usar uma manipulação algébrica ligada à factorização de diferenças de cubos.
Breve lembrança sobre fatoração de cubos (fórmula útil): para quaisquer
e
,
Isto nos permite “racionalizar” expressões com diferença envolvendo raízes cúbicas.
Passo 3
Faça a substituição natural para tornar explícita a raiz cúbica. Defina
Então por definição temos
Observe que quando
temos
.
Passo 4
Usar a fatoração de diferença de cubos com
e
:
Isto é
Mas de
segue
. Portanto podemos multiplicar numerador e denominador da nossa razão por
para simplificar:
Substituindo
obtemos uma simplificação imediata:
válida sempre que
(e portanto
definido conforme acima).
Passo 5
Agora que a expressão foi simplificada, basta tomar o limite quando
. Lembrando que
e que
quando
, temos
Calcule o denominador:
Logo o limite é
.
Passo 6
Comentário pedagógico rápido (opcional para a prova): outra abordagem seria usar expansão em série (desenvolvimento de Taylor) da função
em torno de
, ou aplicar a regra de L’Hôpital duas vezes (mas isso daria derivadas mais trabalhosa). A fatoração de cubos é mais direta aqui e costuma ser a forma mais prática em provas sem calculadora.