Questão 2 (1.0)
Calcule o produto escalar entre (\vec{u}+3 \vec{v}) e(\vec{v}-2 \vec{u}), onde \vec{u}=(2,-3) e \vec{v}=(1,-4).

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto escalar de duas combinações lineares de vetores em \mathbb{R}^2, ou seja
(\vec{u}+3\vec{v}) \cdot (\vec{v}-2\vec{u}),
sabendo que \vec{u}=(2,-3) e \vec{v}=(1,-4). Vamos usar a definição de produto escalar em \mathbb{R}^2 e a propriedade de bilinearidade.

Passo 2

Calcular \vec{u}+3\vec{v}:
\vec{u}+3\vec{v}=(2,-3)+3\,(1,-4)=(2+3,\,-3-12)=(5,-15).

Passo 3

Calcular \vec{v}-2\vec{u}:
\vec{v}-2\vec{u}=(1,-4)-2\,(2,-3)=(1-4,\,-4+6)=(-3,2).

Passo 4

Aplicar a fórmula do produto escalar em \mathbb{R}^2, que para (x_1,y_1) e (x_2,y_2) é x_1x_2+y_1y_2:
(\vec{u}+3\vec{v})\cdot(\vec{v}-2\vec{u}) =5\cdot(-3)+(-15)\cdot2 =-15-30=-45.

Resposta

-45

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