Questão 1 (1.0) Sejam \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} vetores não nulos. Decida se é verdadeiro ou falso, cada uma das afirmações abaixo. Justifique sua resposta.
Se \vec{a} \times \vec{b} \cdot \vec{c}=0 então o conjunto \{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\} é \boldsymbol{L D}.

Passo 1

O enunciado nos dá três vetores não nulos \vec{a},\vec{b},\vec{c} em \mathbb{R}^3 e afirma que
(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}=0.
Pede-se decidir se disso segue que o conjunto \{\vec{a},\vec{b},\vec{c}\} é linearmente dependente (LD). O conteúdo envolvido é o produto vetorial, o produto escalar e a interpretação geométrica do produto misto.

Passo 2

Lembramos que o produto misto
(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}
é igual ao volume orientado do paralelepípedo gerado por \vec{a},\vec{b},\vec{c}. Em particular, esse valor é zero exatamente quando o paralelepípedo tem volume nulo.

Passo 3

Se
(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}=0,
então o volume do paralelepípedo é zero, o que equivale a dizer que \vec{a},\vec{b},\vec{c} são coplanares.

Passo 4

Em \mathbb{R}^3, três vetores coplanares são necessariamente linearmente dependentes, pois não ocupam todo o espaço tridimensional.

Resposta

Verdadeiro.

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