Questão 1 (1.0) Sejam \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} vetores não nulos. Decida se é verdadeiro ou falso, cada uma das afirmações abaixo. Justifique sua resposta.
Se \|(\vec{a}+\vec{b}) \times(\vec{a}-\vec{b})\|=0, então \vec{a} e \vec{b} são paralelos.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores não nulos \vec{a} e \vec{b} e afirma que
\|(\vec{a}+\vec{b}) \times(\vec{a}-\vec{b})\| = 0
e pede para decidir se disso decorre que \vec{a} e \vec{b} são paralelos.
Conteúdo: propriedades do produto vetorial e condição de paralelismo ( \vec{u}\times\vec{v}=\vec{0} implica \vec{u} paralelo a \vec{v}).

Passo 2

Usamos a bilinearidade e antissimetria do produto vetorial para expandir
(\vec{a}+\vec{b}) \times(\vec{a}-\vec{b}) = \vec{a}\times\vec{a} \;-\;\vec{a}\times\vec{b} \;+\;\vec{b}\times\vec{a}\;-\;\vec{b}\times\vec{b}.
Como \vec{u}\times\vec{u}=\vec{0} para qualquer \vec{u} e \vec{b}\times\vec{a}=-\,\vec{a}\times\vec{b}, obtemos
(\vec{a}+\vec{b}) \times(\vec{a}-\vec{b}) = -\vec{a}\times\vec{b} \;+\;(-\vec{a}\times\vec{b}) = -2\,(\vec{a}\times\vec{b}).

Passo 3

Da expressão acima segue
\|(\vec{a}+\vec{b}) \times(\vec{a}-\vec{b})\| = \|{-2}\,(\vec{a}\times\vec{b})\| = 2\,\|\vec{a}\times\vec{b}\|.
A hipótese é que esse módulo é zero, ou seja
2\,\|\vec{a}\times\vec{b}\| = 0 \quad\Longrightarrow\quad \|\vec{a}\times\vec{b}\| = 0.

Passo 4

Sabemos que \|\vec{a}\times\vec{b}\|=0 se e somente se \vec{a} é paralelo a \vec{b}. Portanto a condição dada implica exatamente que \vec{a} e \vec{b} são paralelos.

Resposta

Verdadeiro.

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