QUESTÃO 2. (1.2) Calcule f^prime(1) sabendo que f(x)=sen(2 cdot ln (x)).
(A) -2
(B) 0
(C) 1
(D) 2
(E) 2 cos (2)

Passo 1

Beleza, a gente tem a função f(x) = sin(2 cdot ln(x)) e precisa encontrar a derivada dessa função em x = 1 , ou seja, f'(1) . Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, especialmente a regra da cadeia, que ajuda a derivar funções compostas, além de saber derivar funções trigonométricas e logarítmicas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada geral f'(x) da função f(x) .

Passo 3

A função é f(x) = sin(u) , onde u = 2 cdot ln(x) . Para derivar sin(u) , usamos a regra da cadeia: a derivada de sin(u) é cos(u) cdot u' . Então,
f'(x) = cos(2 cdot ln(x)) cdot dudx

Passo 4

Agora, vamos derivar u = 2 cdot ln(x) . A derivada de ln(x) é 1x , então:
dudx = 2 cdot 1x = 2x

Passo 5

Substituindo dudx na expressão de f'(x) , temos:
f'(x) = cos(2 cdot ln(x)) cdot 2x

Passo 6

Agora, vamos avaliar f'(x) em x = 1 :
f'(1) = cos(2 cdot ln(1)) cdot 21
Sabemos que ln(1) = 0 , então:
f'(1) = cos(0) cdot 2 = 1 cdot 2 = 2

Resposta

(D) 2

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