QUESTÃO 4. (1.2) Considere uma caixa cilíndrica com de volume. O material da parte lateral e do fundo custa 10,00 \mathrm{R} $20,00 r íãC®$ de construção da caixa é:
(A) .
(B) .
(C) .
(D) .
(E) .

Passo 1

O enunciado trata de uma caixa cilíndrica de volume fixo igual a 1 m^3. O custo dos materiais é de R$ (10,00) por metro quadrado para a parte lateral e o fundo, e R por metro quadrado para a parte lateral e o fundo, e R$ 20,00 por metro quadrado para a tampa. Queremos encontrar a expressão do custo C(r) em função do raio r da base do cilindro. Para isso, vamos precisar das fórmulas de área lateral, área de base, área da tampa e da relação de volume do cilindro.

Passo 2

A área lateral de um cilindro de raio r e altura h é dada por
Alat = 2pi r h,
o fundo (base) tem área
Afundo = pi r^2
e a tampa também tem área
Atampa = pi r^2
Como o custo por metro quadrado do material lateral e do fundo é R$ (10,00) e o da tampa é R e o da tampa é R$ 20,00, podemos escrever o custo total em função de r e h:

Passo 3

C(r,h) = 10cdot Alat ;+; 10cdot Afundo ;+; 20cdot Atampa = 10cdot(2pi r h) + 10cdot(pi r^2) + 20cdot(pi r^2)
Agrupando termos semelhantes,
C(r,h) = 20pi r h + 30pi r^2

Passo 4

Como o volume do cilindro é fixo igual a 1 m^3, temos
pi r^2 h = 1 Longrightarrow h = 1pi r^2
Substituindo esse valor de h em C(r,h),
C(r) = 20pi r ,1pi r^2 + 30pi r^2 = 20r + 30pi r^2

Passo 5

Portanto, a expressão final do custo em função de r é
C(r) = 30pi r^2 + 20r,
o que corresponde à alternativa (A).

Resposta

(A) 30pi r^2+20r

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