Questão 6 (Questão Extra) Calcule a integral tripla de f(x, y, z)=\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{1 / 2} em D \subset \mathbb{R}^{3} onde D é a região limitada por x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 4 \mathrm{e}-x^{2}-y^{2}+z^{2} \geq 0, e acima do plano x y.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{D} \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\;dV
onde D\subset\mathbb{R}^{3} é a região limitada pela esfera
x^{2}+y^{2}+z^{2}\le4,
pelo cone
-\,x^{2}-y^{2}+z^{2}\ge0 \quad\Longleftrightarrow\quad z^{2}\ge x^{2}+y^{2},
e pelo plano xy (isto é, z\ge0).
Conteúdo: usaremos coordenadas esféricas (\rho,\varphi,\theta).

Passo 2

Em coordenadas esféricas temos
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z=\rho\cos\varphi,
com \rho\ge0, \varphi\in[0,\pi], \theta\in[0,2\pi].
As restrições ficam:
  1. Esfera \rho\le2.
  2. Cone z^{2}\ge x^{2}+y^{2} em esféricas dá
    \rho^{2}\cos^{2}\varphi\ge\rho^{2}\sin^{2}\varphi, ou seja
    \cos2\varphi\ge0, dentro de z\ge0 implica
    \varphi\in[0,\tfrac{\pi}{4}].
  3. Plano z\ge0 já está garantido por \varphi\in[0,\pi/2], refinado em [0,\pi/4].
Logo os limites são
0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le\varphi\le\frac{\pi}{4},\quad 0\le\rho\le2.

Passo 3

Na integral original temos f(x,y,z)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=\rho e o elemento de volume
dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Portanto a integral vira
\iiint_{D}\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\;dV =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi/4}\!\int_{0}^{2} \bigl(\rho\bigr)\,\bigl(\rho^{2}\sin\varphi\bigr)\,d\rho\,d\varphi\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi/4}\!\int_{0}^{2}\rho^{3}\sin\varphi \,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 4

Calculamos em cada variável:
  1. Integral em \rho: \int_{0}^{2}\rho^{3}\,d\rho =\frac{\rho^{4}}{4}\Big|_{0}^{2} =\frac{16}{4}=4.
  2. Integral em \varphi: \int_{0}^{\pi/4}\sin\varphi\,d\varphi =\bigl[-\cos\varphi\bigr]_{0}^{\pi/4} =1-\frac{\sqrt2}{2}.
  3. Integral em \theta: \int_{0}^{2\pi}d\theta =2\pi.
Multiplicando tudo:
4\;\times\;\Bigl(1-\frac{\sqrt2}{2}\Bigr)\;\times\;2\pi =8\pi\Bigl(1-\frac{\sqrt2}{2}\Bigr) =4\pi\bigl(2-\sqrt2\bigr).

Resposta

4\pi\bigl(2-\sqrt2\bigr).

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