Questão 6 (Questão Extra) Calcule a integral tripla de
em
onde
é a região limitada por
, e acima do plano
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
onde
é a região limitada pela esfera
pelo cone
e pelo plano
(isto é,
).
Conteúdo: usaremos coordenadas esféricas .
Conteúdo: usaremos coordenadas esféricas
Passo 2
Em coordenadas esféricas temos
com
,
,
.
As restrições ficam:
As restrições ficam:
- Esfera
. - Cone
em esféricas dá
, ou seja
, dentro de implica
. - Plano
já está garantido por , refinado em .
Logo os limites são
Passo 3
Na integral original temos
e o elemento de volume
.
Portanto a integral vira
Portanto a integral vira
Passo 4
Calculamos em cada variável:
- Integral em
: - Integral em
: - Integral em
:
Multiplicando tudo: