Questão 1. Calcule as seguintes integrais indefinidas.
integral sec ^6 x d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
integral sec^6 x , dx
Esse tipo de integral com potência par de sec x costuma ser resolvido usando a identidade sec^2 x = 1 + tan^2 x e a substituição u = tan x, pois du = sec^2 x,dx.

Passo 2

Primeiro separamos um fator sec^2 x para a substituição e expressamos o resto em termos de tan x:
sec^6 x = sec^4 x ,sec^2 x = (1+tan^2 x)^2 ,sec^2 x
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integral sec^6 x ,dx = integral (1+tan^2 x)^2 ,sec^2 x ,dx

Passo 3

Fazendo a substituição
u = tan x, du = sec^2 x,dx,
a integral vira
integral (1+u^2)^2,du = integral (u^4 + 2u^2 + 1),du
Integramos termo a termo:
integral u^4,du = u^55, integral 2u^2,du = 2u^33, integral 1,du = u
Portanto
integral (u^4+2u^2+1),du = u^55 + 2u^33 + u + C

Passo 4

Voltando a variável original x com u = tan x, obtemos
integral sec^6 x ,dx = tan^5 x5 + 2tan^3 x3 + tan x + C

Resposta

tan^5 x5 + 2tan^3 x3 + tan x + C

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