Questão 1. Calcule as seguintes integrais indefinidas.
integral sen^6(3 x+1) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral sen^6(3x+1),dx
Aqui vamos usar identidades de redução de potência para senos, transformando sen^6theta em soma de cossenos múltiplos de theta, o que facilita a integração termo a termo.

Passo 2

Começamos pela identidade de redução de potência:
sen^6theta = l(sen^2thetar)^3 = l(1-cos2theta2r)^3
Ao expandir e usar cos^2 2theta=tfrac1+cos4theta2 e cos^3 2theta=tfrac3cos2theta+cos6theta4, obtém-se
sen^6theta =132l(10 -15cos2theta +6cos4theta -cos6thetar)

Passo 3

Agora substituímos theta=3x+1 na expressão acima e escrevemos a integral como soma:
integral sen^6(3x+1),dx =132integrall[10 -15cosl(2(3x+1)r) +6cosl(4(3x+1)r)-cosl(6(3x+1)r)r]dx
Ou seja,
132integrall[10 -15cos(6x+2) +6cos(12x+4)-cos(18x+6)r]dx

Passo 4

Integramos termo a termo usando integralcos(ax+b),dx=1asen(ax+b):
integral10,dx = 10x, integralcos(6x+2),dx = tfrac16sen(6x+2),
integralcos(12x+4),dx = tfrac112sen(12x+4), integralcos(18x+6),dx = tfrac118sen(18x+6)
Logo,
integral sen^6(3x+1),dx =132l[10x -15cdottfrac16sen(6x+2) +6cdottfrac112sen(12x+4) -1cdottfrac118sen(18x+6)r]+C

Passo 5

Basta simplificar os coeficientes dentro dos colchetes:
-15cdottfrac16=-tfrac52, 6cdottfrac112=tfrac12, 1cdottfrac118=tfrac118
Então
integral sen^6(3x+1),dx =132l[10x -tfrac52sen(6x+2) +tfrac12sen(12x+4)-tfrac118sen(18x+6)r]+C
Finalmente,
10/32=tfrac516, -tfrac5/232=-tfrac564, tfrac1/232=tfrac164, -tfrac1/1832=-tfrac1576

Resposta

integral sen^6(3x+1),dx =516,x -564sen(6x+2) +164sen(12x+4) -1576sen(18x+6) +C

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