Questão 1. Calcule as seguintes integrais
\int \cos (x)^{5} \operatorname{sen}(x)^{5} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \cos(x)^{5}\,\sin(x)^{5}\,dx.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A variável de integração é x.
  • O integrando é \cos(x)^{5}\sin(x)^{5}, ou seja, potências ímpares de \cos e \sin.
  • Queremos uma primitiva (ou família de primitivas) dessa função, isto é, uma expressão cujo derivada seja \cos(x)^{5}\sin(x)^{5}.

Passo 2

Escolha do método: quando numa integral trigonométrica uma das funções \sin ou \cos aparece com potência ímpar, uma estratégia padrão é “guardar” um fator da função com potência ímpar e transformar o restante usando a identidade pitagórica \sin^{2}x+\cos^{2}x=1, para então fazer uma substituição simples. Aqui tanto \sin quanto \cos têm potência ímpar; eu vou guardar um fator \sin(x) e fazer a substituição
u=\cos(x),
porque du=-\sin(x)\,dx. Essa escolha transforma a integral numa integral polinomial em u, que é fácil de calcular.

Passo 3

Reescrever o integrando de forma conveniente: separo um fator \sin(x) para formar du e escrevo as potências restantes em termos de \cos.
\cos(x)^{5}\sin(x)^{5} = \cos(x)^{5}\,\sin(x)^{4}\,\sin(x).
Agora uso \sin(x)^{2}=1-\cos(x)^{2}, então
\sin(x)^{4}=\big(\sin(x)^{2}\big)^{2}=\big(1-\cos(x)^{2}\big)^{2}.
Portanto
\cos(x)^{5}\sin(x)^{5} = \cos(x)^{5}\big(1-\cos(x)^{2}\big)^{2}\sin(x).

Passo 4

Faço a substituição u=\cos(x). Então du=-\sin(x)\,dx, ou seja \sin(x)\,dx=-du. Substituindo na integral,
\int \cos(x)^{5}\sin(x)^{5}\,dx = \int u^{5}\big(1-u^{2}\big)^{2}(-du).
Coloco o sinal negativo para fora:
= -\int u^{5}\big(1-u^{2}\big)^{2}\,du.

Passo 5

Expando o polinômio \big(1-u^{2}\big)^{2} e multiplico por u^{5}. Primeiro,
\big(1-u^{2}\big)^{2}=1-2u^{2}+u^{4}.
Multiplicando por u^{5},
u^{5}\big(1-u^{2}\big)^{2}=u^{5}-2u^{7}+u^{9}.
Logo a integral vira
- \int \big(u^{5}-2u^{7}+u^{9}\big)\,du.

Passo 6

Integro termo a termo usando a regra de potência para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aplicando:
\int u^{5}\,du=\frac{u^{6}}{6},\qquad \int u^{7}\,du=\frac{u^{8}}{8},\qquad \int u^{9}\,du=\frac{u^{10}}{10}.
Portanto
- \int \big(u^{5}-2u^{7}+u^{9}\big)\,du = -\left(\frac{u^{6}}{6}-2\cdot\frac{u^{8}}{8}+\frac{u^{10}}{10}\right)+C.
Simplifico o coeficiente do 2:
2\cdot\frac{u^{8}}{8}=\frac{u^{8}}{4},
então
= -\left(\frac{u^{6}}{6}-\frac{u^{8}}{4}+\frac{u^{10}}{10}\right)+C.

Passo 7

Volto à variável x substituindo u=\cos(x):
-\frac{\cos(x)^{6}}{6}+\frac{\cos(x)^{8}}{4}-\frac{\cos(x)^{10}}{10}+C.
Pronto: essa é uma primitiva da função original. Se quiser, podemos verificar derivando essa expressão e confirmando que obtemos \cos^{5}x\sin^{5}x.

Resposta

-\frac{\cos(x)^{6}}{6}+\frac{\cos(x)^{8}}{4}-\frac{\cos(x)^{10}}{10}+C

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