Questão 1. Calcule as seguintes integrais
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas e observações imediatas:
- A variável de integração é
. - O integrando é
, ou seja, potências ímpares de e . - Queremos uma primitiva (ou família de primitivas) dessa função, isto é, uma expressão cujo derivada seja
.
Passo 2
Escolha do método: quando numa integral trigonométrica uma das funções
ou
aparece com potência ímpar, uma estratégia padrão é “guardar” um fator da função com potência ímpar e transformar o restante usando a identidade pitagórica
, para então fazer uma substituição simples. Aqui tanto
quanto
têm potência ímpar; eu vou guardar um fator
e fazer a substituição
porque
. Essa escolha transforma a integral numa integral polinomial em
, que é fácil de calcular.
Passo 3
Reescrever o integrando de forma conveniente: separo um fator
para formar
e escrevo as potências restantes em termos de
.
Agora uso
, então
Portanto
Passo 4
Faço a substituição
. Então
, ou seja
. Substituindo na integral,
Coloco o sinal negativo para fora:
Passo 5
Expando o polinômio
e multiplico por
. Primeiro,
Multiplicando por
,
Logo a integral vira
Passo 6
Integro termo a termo usando a regra de potência para integrais: para
,
Aplicando:
Portanto
Simplifico o coeficiente do 2:
então
Passo 7
Volto à variável
substituindo
:
Pronto: essa é uma primitiva da função original. Se quiser, podemos verificar derivando essa expressão e confirmando que obtemos
.