Questão 1. Calcule as seguintes integrais
\int_{1}^{2} 2 x^{2} \sqrt{3 x^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{2} 2 x^{2} \sqrt{3 x^{3}}\, dx.
Informações dadas: os limites de integração são 1 e 2; o integrando é 2 x^{2} \sqrt{3 x^{3}}. Não há outras condições ou parâmetros ocultos.

Passo 2

Vamos reescrever a raiz quadrada como potência, porque trabalhar com potências facilita a integração.
A regra é \sqrt{a} = a^{1/2}. Aplicando isso a \sqrt{3 x^{3}} obtemos
\sqrt{3 x^{3}} = (3 x^{3})^{1/2}.
É importante lembrar que a potência de um produto se distribui: (ab)^p = a^p b^p. Usando isso,
(3 x^{3})^{1/2} = 3^{1/2} \cdot (x^{3})^{1/2}.

Passo 3

Agora simplificamos a potência de x:
(x^{3})^{1/2} = x^{3\cdot\frac{1}{2}} = x^{3/2}.
Portanto
\sqrt{3 x^{3}} = 3^{1/2} x^{3/2}.
Substituindo no integrando,
2 x^{2} \sqrt{3 x^{3}} = 2 x^{2} \cdot 3^{1/2} x^{3/2}.

Passo 4

Reagrupamos constantes e potências de x. A constante 3^{1/2} pode sair da integral, e somamos os expoentes de x:
x^{2}\cdot x^{3/2} = x^{2 + 3/2} = x^{7/2}.
Logo o integrando fica 2\cdot 3^{1/2} x^{7/2}. Assim a integral é
\int_{1}^{2} 2 x^{2} \sqrt{3 x^{3}}\, dx = 2\cdot 3^{1/2} \int_{1}^{2} x^{7/2}\, dx.

Passo 5

Usamos a regra de integração para potências: para n\neq -1,
\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n = \tfrac{7}{2}, então n+1 = \tfrac{9}{2}. Aplicando a regra ao integrando,
\int x^{7/2}\, dx = \frac{x^{9/2}}{9/2} = \frac{2}{9} x^{9/2}.
Portanto a primitiva da função integranda é
2\cdot 3^{1/2} \cdot \frac{2}{9} x^{9/2} = \frac{4\cdot 3^{1/2}}{9} x^{9/2}.

Passo 6

Agora avaliamos a primitiva nos limites 1 e 2:
\int_{1}^{2} 2 x^{2} \sqrt{3 x^{3}}\, dx = \left[\frac{4\cdot 3^{1/2}}{9} x^{9/2}\right]_{1}^{2} = \frac{4\sqrt{3}}{9}\left(2^{9/2} - 1^{9/2}\right).
Note que 1^{9/2}=1.

Passo 7

Simplificamos 2^{9/2}. Podemos escrever
2^{9/2} = 2^{8/2}\cdot 2^{1/2} = 2^{4}\sqrt{2} = 16\sqrt{2}.
Substituindo na expressão,
\frac{4\sqrt{3}}{9}\left(16\sqrt{2} - 1\right).
Multiplicando 4\sqrt{3} pelos termos do parêntese:
\frac{4}{9}\left(16\sqrt{6} - \sqrt{3}\right) = \frac{64\sqrt{6} - 4\sqrt{3}}{9}.

Resposta

\displaystyle \frac{64\sqrt{6}-4\sqrt{3}}{9}

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