Questão 1. Calcule as seguintes integrais
Passo 1
O enunciado pede: calcular a integral definida
Informações dadas:
Pergunta: qual é o valor numérico dessa integral definida?
Passo 2
Escolhemos simplificar a integral por substituição de variável. A ideia da substituição é trocar a variável
por uma nova variável
que deixe a expressão mais simples (aqui queremos que o argumento do cosseno vire simplesmente
). Definimos
Agora calculamos a diferencial: derivando ambos os lados em relação a
,
Também precisamos transformar os limites de integração usando a relação entre
e
:
Passo 3
Substituindo na integral original
e
, obtemos
Explicação: o fator
aparece porque
.
Passo 4
Agora usamos que uma antiderivada de
é
. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, para uma função contínua
,
onde
é uma primitiva de
. Aplicando isso aqui:
Passo 5
Precisamos avaliar os senos nos ângulos indicados. Usando o círculo trigonométrico e a simetria do seno:
Portanto
Passo 6
Voltando à expressão com o fator
: