Questão 1. Calcule as seguintes integrais
\int_{0}^{\pi / 2} \cos (2 x-\pi / 4) d x

Passo 1

O enunciado pede: calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi/2} \cos\!\bigl(2x - \pi/4\bigr)\,dx.
Informações dadas:
\text{integrando: }\cos\!\bigl(2x - \pi/4\bigr),\qquad \text{intervalo: }x\in[0,\pi/2].
Pergunta: qual é o valor numérico dessa integral definida?

Passo 2

Escolhemos simplificar a integral por substituição de variável. A ideia da substituição é trocar a variável x por uma nova variável u que deixe a expressão mais simples (aqui queremos que o argumento do cosseno vire simplesmente u). Definimos
u = 2x - \frac{\pi}{4}.
Agora calculamos a diferencial: derivando ambos os lados em relação a x,
\frac{du}{dx} = 2 \quad\Rightarrow\quad du = 2\,dx \quad\Rightarrow\quad dx=\frac{du}{2}.
Também precisamos transformar os limites de integração usando a relação entre u e x:
\text{quando } x=0,\; u = 2\cdot 0 - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4},
\text{quando } x=\frac{\pi}{2},\; u = 2\cdot\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}.

Passo 3

Substituindo na integral original x\mapsto u e dx=\frac{du}{2}, obtemos
\int_{0}^{\pi/2} \cos\!\bigl(2x - \tfrac{\pi}{4}\bigr)\,dx = \int_{u=-\pi/4}^{u=3\pi/4} \cos(u)\cdot\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int_{-\pi/4}^{3\pi/4} \cos(u)\,du.
Explicação: o fator \tfrac{1}{2} aparece porque dx=\tfrac{du}{2}.

Passo 4

Agora usamos que uma antiderivada de \cos(u) é \sin(u). Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, para uma função contínua f,
\int_{a}^{b} f(u)\,du = F(b)-F(a),
onde F é uma primitiva de f. Aplicando isso aqui:
\frac{1}{2}\int_{-\pi/4}^{3\pi/4} \cos(u)\,du = \frac{1}{2}\bigl[\sin(u)\bigr]_{u=-\pi/4}^{u=3\pi/4} = \frac{1}{2}\bigl(\sin(3\pi/4)-\sin(-\pi/4)\bigr).

Passo 5

Precisamos avaliar os senos nos ângulos indicados. Usando o círculo trigonométrico e a simetria do seno:
\sin\!\bigl(\tfrac{3\pi}{4}\bigr)=\sin\!\bigl(\pi-\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\frac{\sqrt{2}}{2},
\sin\!\bigl(-\tfrac{\pi}{4}\bigr)=-\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=-\frac{\sqrt{2}}{2}.
Portanto
\sin\!\bigl(\tfrac{3\pi}{4}\bigr)-\sin\!\bigl(-\tfrac{\pi}{4}\bigr) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \bigl(-\frac{\sqrt{2}}{2}\bigr) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}.

Passo 6

Voltando à expressão com o fator \tfrac{1}{2}:
\frac{1}{2}\bigl(\sin(3\pi/4)-\sin(-\pi/4)\bigr)=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}

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