Questão 2. Calcule os seguintes limites:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular lim x 3 2x|x-3|. Aqui, estamos lidando com limites em Cálculo, e vamos precisar entender como a função se comporta quando x se aproxima de 3, tanto pela esquerda quanto pela direita.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa o valor absoluto |x-3|. O valor absoluto de um número é sempre positivo ou zero, então |x-3| vai depender de x ser maior ou menor que 3.

Passo 3

Vamos dividir em dois casos: quando x se aproxima de 3 pela direita ( x > 3) e pela esquerda ( x < 3).

Passo 4

Caso 1: x se aproxima de 3 pela direita ( x > 3)
Aqui, x - 3 é positivo, então |x-3| = x - 3.
A função fica:
2x|x-3| = 2xx - 3
Quando x se aproxima de 3 pela direita, x - 3 se aproxima de 0 positivo, fazendo com que a fração aumente sem limites. Então:
lim x 3^+ 2x|x-3| = +infty

Passo 5

Caso 2: x se aproxima de 3 pela esquerda ( x < 3)
Aqui, x - 3 é negativo, então |x-3| = -(x - 3) = 3 - x.
A função fica:
2x|x-3| = 2x3 - x
Quando x se aproxima de 3 pela esquerda, 3 - x se aproxima de 0 positivo, e 2x se aproxima de 6. Então:
lim x 3^- 2x|x-3| = +infty

Passo 6

Como os limites laterais (pela direita e pela esquerda) são iguais e tendem ao infinito positivo, podemos concluir que o limite geral também tende ao infinito positivo.

Resposta

lim x 3 2x|x-3| = +infty

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