Verifique se as funções abaixo são soluções da EDO (y^prime)^2-x y^prime+y=0
f(x)=x e^x

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
y = f(x) = x e^x
é solução da EDO
(y')^2 - x,y' + y = 0
Para isso vamos calcular y' e depois substituir y e y' na equação, conferindo se o resultado é identicamente zero.

Passo 2

Calculamos a derivada de y:
y' = ddxl(x e^xr) = e^x + x e^x = (x+1)e^x

Passo 3

Substituímos y e y' na EDO:
(y')^2 - x,y' + y = l((x+1)e^xr)^2 - x,(x+1)e^x + x e^x

Passo 4

Simplificamos termo a termo:
l((x+1)e^xr)^2 = (x+1)^2e^2x,
-,x,(x+1)e^x + x e^x = e^xl(-x(x+1) + xr) = -x^2e^x
Logo
(y')^2 - x,y' + y = (x+1)^2e^2x - x^2e^x = e^xl((x+1)^2e^x - x^2r)
Para ser solução, essa expressão teria de ser zero para todo x, ou seja,
(x+1)^2e^x - x^2 equiv 0,
o que não ocorre.

Resposta

A função f(x)=x e^x não satisfaz a EDO e, portanto, não é solução.

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