Questão 2. Calcule os seguintes limites, justificando cada passagem:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \log (x+1)}{\cos (x+\pi / 4)}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to0}\frac{x\log(1+x)}{\cos\bigl(x+\tfrac\pi4\bigr)}.
Aqui usamos limites de funções elementares: o limite de \log(1+x) e a continuidade de \cos.

Passo 2

Analisamos o numerador x\log(1+x). Sabemos que
\lim_{x\to0}\frac{\log(1+x)}{x}=1,
logo para x pequeno \log(1+x)=x+o(x). Dessa forma
x\log(1+x)=x\bigl(x+o(x)\bigr)=x^2+o(x^2),
e portanto
\lim_{x\to0}x\log(1+x)=0.

Passo 3

Analisamos o denominador \cos\bigl(x+\tfrac\pi4\bigr). Como \cos é contínua, temos
\lim_{x\to0}\cos\bigl(x+\tfrac\pi4\bigr) =\cos\bigl(0+\tfrac\pi4\bigr) =\cos\!\tfrac\pi4 =\frac{\sqrt2}{2}\neq0.

Passo 4

Tendo o numerador tendendo a 0 e o denominador tendendo a \tfrac{\sqrt2}{2}\neq0, pela propriedade de limites de quociente
\lim_{x\to0}\frac{x\log(1+x)}{\cos\bigl(x+\tfrac\pi4\bigr)} =\frac{0}{\tfrac{\sqrt2}{2}} =0.

Resposta

0

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