Questão 3. Calcule os seguintes limites.
ll d) lim x 2 x^3-4 x^2+2 x+4x^3-2 x+4 & &) lim x 5 raizx-raiz5raizx+5-raiz10

Passo 1

Temos dois limites para calcular:
limxto2 x^3 -4x^2 +2x +4x^3 -2x +4 e
limxto5 raizx -raiz5raizx+5 -raiz10.
O tema aqui é limite de funções racionais (polinômios) e limites envolvendo radicais. Para a parte (d) usaremos continuidade de polinômios; para a parte (e) vamos racionalizar o denominador.

Passo 2

Como na parte (d) temos um quociente de polinômios e o denominador em x=2 não anula, podemos usar continuidade: basta substituir x=2.
Calculando o numerador:
2^3 -4cdot2^2 +2cdot2 +4 =8 -16 +4 +4 =0,
e o denominador:
2^3 -2cdot2 +4 =8 -4 +4 =8
Logo o limite é 0/8 = 0.

Passo 3

Na parte (e) a substituição direta dá forma 0/0, então temos indeterminação. Para eliminar isso, vamos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador pelo conjugado de raizx+5-raiz10, que é raizx+5+raiz10.

Passo 4

Multiplicando e simplificando:
(raizx-raiz5)(raizx+5+raiz10)(raizx+5-raiz10)(raizx+5+raiz10) = (raizx-raiz5)(raizx+5+raiz10)x+5 -10 = (raizx-raiz5)(raizx+5+raiz10)x-5
Como x-5 = (raizx-raiz5)(raizx+raiz5), podemos cancelar o fator (raizx-raiz5):
raizx+5+raiz10raizx+raiz5

Passo 5

Agora a expressão está livre de indeterminação, basta substituir x=5:
raiz10+raiz10raiz5+raiz5 = 2raiz102raiz5 = raiz10raiz5 = raiz2

Resposta

d) 0; e) raiz2

Exercícios relacionados