Questão 7. Calcule os seguintes limites:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \sqrt{\frac{x^{2} y-7 y-3}{y^{5}+8 x+2}}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \sqrt{\frac{x^{2}y-7y-3}{y^{5}+8x+2}}
Isso é um limite de função de duas variáveis. Vamos usar o fato de que produto, soma e quociente de funções contínuas são contínuos, e em seguida a continuidade da raiz quadrada (onde faz sentido).

Passo 2

Analisamos separadamente numerador e denominador dentro da raiz. Como polinômios são contínuos, temos
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\bigl(x^{2}y-7y-3\bigr) =-7\cdot0-3=-3
e
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\bigl(y^{5}+8x+2\bigr) =0+0+2=2.
Além disso, como o limite do denominador é 2\neq0, o quociente tende a um valor finito.

Passo 3

Pelo teorema do quociente de limites,
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}y-7y-3}{y^{5}+8x+2} =\frac{-3}{2}.

Passo 4

Agora aplicamos a raiz quadrada. Como \sqrt{\,t\,} é contínua apenas para t\ge0, mas o interior tende a -\tfrac{3}{2}<0, o valor dentro da raiz fica negativo em toda vizinhança de (0,0). Logo, não há como definir a raiz real e não existe limite real.

Resposta

O limite não existe no conjunto dos números reais.

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