Questão 2. Determine os limites, caso existam.
\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\operatorname{sen} x}\right)=\

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\lim_{x\to0}\Bigl(\frac{1}{x}-\frac{1}{\sin x}\Bigr).
Esse é um caso de forma indeterminada \frac{1}{0}-\frac{1}{0}, ou seja, \infty-\infty. Para resolver, vamos reescrever como uma única fração e depois usar expansão em série de Taylor de \sin x ou L’Hôpital.

Passo 2

Combine as duas frações num só quociente:
\frac{1}{x}-\frac{1}{\sin x} =\frac{\sin x - x}{x\,\sin x}.
Note que, quando x\to0, tanto o numerador \sin x - x quanto o denominador x\sin x vão a zero, caracterizando a forma 0/0.

Passo 3

Use a expansão de Taylor de \sin x em torno de zero:
\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3).
Logo,
\sin x - x = -\frac{x^3}{6} + o(x^3), \quad x\,\sin x = x\Bigl(x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)\Bigr) = x^2 - \frac{x^4}{6} + o(x^4).
Assim,
\frac{\sin x - x}{x\,\sin x} =\frac{-\tfrac{x^3}{6}+o(x^3)}{x^2+o(x^2)} =-\frac{x}{6}+o(x)
e, quando x\to0, isso tende a 0.

Passo 4

Portanto, o limite existe e vale 0.

Resposta

0

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