Questão 2. Determine os limites, caso existam.
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^{2}+2 x}-x\right)=\

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\bigl(\sqrt{x^2+2x}-x\bigr).
Estamos lidando com limites no infinito e uma indeterminação do tipo \infty-\infty, então vamos usar a técnica de racionalização (multiplicar pelo conjugado) para resolver.

Passo 2

Ao observar \sqrt{x^2+2x} e x quando x\to+\infty, ambos crescem sem limite, gerando a forma indeterminada \infty-\infty. Para contornar isso, multiplicamos e dividimos pela expressão conjugada \sqrt{x^2+2x}+x.

Passo 3

Multiplicando e dividindo por \sqrt{x^2+2x}+x, temos
\sqrt{x^2+2x}-x = \frac{\bigl(\sqrt{x^2+2x}-x\bigr)\bigl(\sqrt{x^2+2x}+x\bigr)}{\sqrt{x^2+2x}+x}
No numerador aplicamos (a-b)(a+b)=a^2-b^2, logo
(\sqrt{x^2+2x})^2 - x^2 = x^2 + 2x - x^2 = 2x.
Portanto
\sqrt{x^2+2x}-x = \frac{2x}{\sqrt{x^2+2x}+x}.

Passo 4

Como x>0 quando x\to+\infty, podemos dividir numerador e denominador por x:
\frac{2x}{\sqrt{x^2+2x}+x} = \frac{2}{\sqrt{1+\tfrac{2}{x}} + 1}.

Passo 5

Agora, ao fazermos x\to+\infty, a fração \tfrac{2}{x}\to0, então
\sqrt{1+\tfrac{2}{x}} + 1 \;\longrightarrow\; \sqrt{1}+1 = 2.
Logo o limite vale
\frac{2}{2} = 1.

Resposta

1

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