Seja F(t)=f(t^2, 3 t+1), onde f=f(u, v) é uma função real de duas variáveis reais diferenciável em R^2.
Determine partial Fpartial t(0), sabendo que partial fpartial u(0,1)=6 e partial fpartial v(0,1)=2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função composta F(t) = f(t^2, 3t + 1) , onde f(u, v) é uma função diferenciável de duas variáveis. Nosso objetivo é encontrar a derivada parcial de F em relação a t no ponto t = 0 , ou seja, partial Fpartial t(0) . Para isso, vamos usar a regra da cadeia para funções de múltiplas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função composta. Aqui, u = t^2 e v = 3t + 1 . Então, F(t) depende de t através de u e v .

Passo 3

A próxima etapa é aplicar a regra da cadeia para derivadas de funções compostas. No caso de funções de duas variáveis, a regra da cadeia diz que:
dFdt = partial fpartial u cdot dudt + partial fpartial v cdot dvdt
Isso significa que a derivada de F em relação a t é a soma das derivadas parciais de f em relação a u e v , cada uma multiplicada pela derivada de u e v em relação a t , respectivamente.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas das variáveis internas u e v em relação a t :
dudt = ddt(t^2) = 2t
dvdt = ddt(3t + 1) = 3

Passo 5

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula da regra da cadeia:
dFdt = partial fpartial u cdot 2t + partial fpartial v cdot 3

Passo 6

Precisamos avaliar essa expressão no ponto t = 0 . Primeiro, calculamos u e v quando t = 0 :
u = (0)^2 = 0
v = 3(0) + 1 = 1
Então, estamos considerando partial fpartial u e partial fpartial v no ponto (0, 1) , valores que já foram dados no exercício: partial fpartial u(0,1) = 6e e partial fpartial v(0,1) = 2 .

Passo 7

Substituindo t = 0 e os valores das derivadas parciais na expressão:
dFdtg|t=0 = 6e cdot 2(0) + 2 cdot 3 = 0 + 6 = 6

Resposta

partial Fpartial t(0) = 6

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