Seja
, onde
é uma função real de duas variáveis reais diferenciável em
.
Determine
, sabendo que
.
Determine
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função composta
, onde
é uma função diferenciável de duas variáveis. Nosso objetivo é encontrar a derivada parcial de
em relação a
no ponto
, ou seja,
. Para isso, vamos usar a regra da cadeia para funções de múltiplas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função composta. Aqui,
e
. Então,
depende de
através de
e
.
Passo 3
A próxima etapa é aplicar a regra da cadeia para derivadas de funções compostas. No caso de funções de duas variáveis, a regra da cadeia diz que:
Isso significa que a derivada de
em relação a
é a soma das derivadas parciais de
em relação a
e
, cada uma multiplicada pela derivada de
e
em relação a
, respectivamente.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas das variáveis internas
e
em relação a
:
Passo 5
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula da regra da cadeia:
Passo 6
Precisamos avaliar essa expressão no ponto
. Primeiro, calculamos
e
quando
:
Então, estamos considerando
e
no ponto
, valores que já foram dados no exercício:
e
.
Passo 7
Substituindo
e os valores das derivadas parciais na expressão: