Questão 1. Calcule a transformada discreta de Fourier da função f tal que f(0)=0, f\left(\frac{2 \pi}{3}\right)=1, f\left(\frac{4 \pi}{3}\right)=3.

Passo 1

O enunciado dá três valores de uma função periódica de período 2\pi amostrada em N=3 pontos:
\,f(0)=0, \,f\bigl(\tfrac{2\pi}{3}\bigr)=1 e \,f\bigl(\tfrac{4\pi}{3}\bigr)=3.
Queremos calcular a transformada discreta de Fourier (DFT) desses três valores.

Passo 2

Chamemos os pontos de amostragem
x_n = n\Delta,\quad \Delta=\frac{2\pi}{3},\quad n=0,1,2,
e denotemos
f_n = f(x_n),\quad f_0=0,\;f_1=1,\;f_2=3.

Passo 3

A DFT de comprimento N=3 é dada pelos coeficientes
F_k = \sum_{n=0}^{2} f_n \,e^{-i\frac{2\pi}{3}kn}, \quad k=0,1,2.

Passo 4

Para k=0 temos
F_0 = \sum_{n=0}^{2} f_n\,e^{-i\frac{2\pi}{3}\cdot0\cdot n} = f_0+f_1+f_2 = 0+1+3 = 4.

Passo 5

Para k=1 calculamos
F_1 = f_0\cdot1 + f_1\,e^{-i\frac{2\pi}{3}} + f_2\,e^{-i\frac{4\pi}{3}} = e^{-i\frac{2\pi}{3}} + 3\,e^{-i\frac{4\pi}{3}}.
Como
e^{-i\frac{2\pi}{3}} = -\tfrac12 - i\,\tfrac{\sqrt3}{2}, \quad e^{-i\frac{4\pi}{3}} = -\tfrac12 + i\,\tfrac{\sqrt3}{2},
segue
F_1 = \bigl(-\tfrac12 - i\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr) +3\bigl(-\tfrac12 + i\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr) = -2 + i\sqrt3.

Passo 6

Para k=2 temos
F_2 = f_0\cdot1 + f_1\,e^{-i\frac{4\pi}{3}} + f_2\,e^{-i\frac{8\pi}{3}}.
Note que e^{-i\frac{8\pi}{3}} = e^{-i2\pi}e^{-i\frac{2\pi}{3}} = e^{-i\frac{2\pi}{3}}. Logo
F_2 = e^{-i\frac{4\pi}{3}} + 3\,e^{-i\frac{2\pi}{3}} = \bigl(-\tfrac12 + i\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr) +3\bigl(-\tfrac12 - i\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr) = -2 - i\sqrt3.

Resposta

F_0 = 4,\quad F_1 = -2 + i\sqrt3,\quad F_2 = -2 - i\sqrt3.

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