Resolva as equações diferenciais lineares homogêneas de 2^{\mathrm{a}} ordem com coeficientes constantes.
y^{\prime \prime}+y^{\prime}+7 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + y' + 7y = 0.
Vamos usar o método do polinômio característico: assumimos uma solução da forma y=e^{rx}, encontramos as raízes r e montamos a solução geral.

Passo 2

Substituindo y=e^{rx}, y'=r e^{rx}, y''=r^2 e^{rx} na equação, obtemos o polinômio característico
r^2 + r + 7 = 0.

Passo 3

Calculamos o discriminante desse polinômio:
\Delta = 1^2 - 4\cdot1\cdot7 = 1 - 28 = -27.
Como \Delta<0, as raízes serão complexas conjugadas.

Passo 4

As raízes são
r = \frac{-1 \pm \sqrt{-27}}{2} = \frac{-1 \pm i\,3\sqrt{3}}{2}.
Logo \alpha = -\tfrac12 e \beta = \tfrac{3\sqrt{3}}2.

Passo 5

Para raízes complexas r=\alpha\pm i\beta, a solução geral é
y(x) = e^{\alpha x}\bigl(C_1\cos(\beta x)+C_2\sin(\beta x)\bigr).

Resposta

y(x) = e^{-\tfrac{x}{2}}\Bigl(C_1\cos\bigl(\tfrac{3\sqrt{3}}2\,x\bigr)+C_2\sin\bigl(\tfrac{3\sqrt{3}}2\,x\bigr)\Bigr).

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