Resolva as equações diferenciais lineares homogêneas de 2^{\mathrm{a}} ordem com coeficientes constantes.
3 y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}-6 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
3\,y'' - 4\,y' - 6\,y = 0.
Para isso vamos usar o método da equação característica, que transforma a ED num polinômio em r cujas raízes determinam a solução geral.

Passo 2

Fazemos a substituição ansatz y(x)=e^{r x}. Então
y' = r\,e^{r x},\quad y'' = r^2\,e^{r x}.
Substituindo na equação original e dividindo por e^{r x}\neq0, obtemos a equação característica
3\,r^2 - 4\,r - 6 = 0.

Passo 3

Calculamos as raízes do polinômio
3\,r^2 - 4\,r - 6 = 0.
O discriminante é
\Delta = (-4)^2 - 4\cdot3\cdot(-6) = 16 + 72 = 88.
Logo as raízes são
r = \frac{4 \pm \sqrt{88}}{2\cdot3} = \frac{4 \pm 2\sqrt{22}}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{22}}{3}.

Passo 4

Como as raízes r_1 = \tfrac{2+\sqrt{22}}{3} e r_2 = \tfrac{2-\sqrt{22}}{3} são reais e distintas, a teoria das EDs homogêneas garante que a solução geral é
y(x) = C_1\,e^{r_1 x} + C_2\,e^{r_2 x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias de integração.

Resposta

y(x) = C_1\,\exp\!\bigl(\tfrac{2+\sqrt{22}}{3}\,x\bigr) + C_2\,\exp\!\bigl(\tfrac{2-\sqrt{22}}{3}\,x\bigr).

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