Resolva as equações diferenciais lineares homogêneas de 2^{\mathrm{a}} ordem com coeficientes constantes.
\frac{3}{2} y^{\prime \prime}+y^{\prime}+18 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
\frac{3}{2}\,y'' + y' + 18\,y = 0.
Para isso, vamos usar o método da equação característica, que transforma a ODE num polinômio em r. A solução geral depende das raízes desse polinômio.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo y = e^{r x}. Substituindo na ODE, obtemos a equação característica
\frac{3}{2}r^2 + r + 18 = 0.
Multiplicando por 2 para simplificar, fica
3r^2 + 2r + 36 = 0.

Passo 3

Calculamos o discriminante \Delta do polinômio 3r^2 + 2r + 36:
\Delta = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot 36 = 4 - 432 = -428.
Como \Delta<0, as raízes serão complexas.

Passo 4

As raízes são
r = \frac{-2 \pm \sqrt{-428}}{2\cdot 3} = \frac{-2 \pm i\sqrt{428}}{6} = \frac{-1 \pm i\sqrt{107}}{3}.
Chamando
\alpha = -\frac{1}{3},\qquad \beta = \frac{\sqrt{107}}{3},
a solução geral para raízes complexas r = \alpha \pm i\beta é
y(x) = e^{\alpha x}\Bigl(C_{1}\cos(\beta x) + C_{2}\sin(\beta x)\Bigr).

Resposta

y(x) = e^{-\tfrac{1}{3}x}\Bigl(C_{1}\cos\bigl(\tfrac{\sqrt{107}}{3}x\bigr) + C_{2}\sin\bigl(\tfrac{\sqrt{107}}{3}x\bigr)\Bigr),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados