Questão 7 - Calcule a transformada inversa:
  1. \frac{1}{s^{2}-9}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
\frac{1}{s^{2}-9}.
Vamos usar o método de frações parciais e depois aplicar a tabela básica \mathcal{L}^{-1}\{1/(s-a)\}=e^{at}.

Passo 2

Decompomos
\frac{1}{s^{2}-9} \;=\;\frac{1}{(s-3)(s+3)} \;=\;\frac{A}{s-3}+\frac{B}{s+3}.
Multiplicando ambos os lados por (s-3)(s+3) obtemos
1 = A(s+3) + B(s-3).

Passo 3

Para achar A e B basta escolher valores convenientes de s:
  • Se s=3:
1 = A\,(3+3) \;\Longrightarrow\; A = \frac{1}{6}.
  • Se s=-3:
1 = B\,(-3-3) \;\Longrightarrow\; B = -\frac{1}{6}.
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\frac{1}{s^{2}-9} = \frac{1}{6}\,\frac{1}{s-3} \;-\;\frac{1}{6}\,\frac{1}{s+3} = \frac{1}{6}\Bigl(\frac{1}{s-3}-\frac{1}{s+3}\Bigr).

Passo 4

Aplicando a transformada inversa term a term, lembrando que \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s-a}\}=e^{at}, temos
f(t) = \frac{1}{6}\Bigl(e^{3t}-e^{-3t}\Bigr).

Resposta

\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{1}{s^{2}-9}\Bigr\} = \frac{1}{6}\bigl(e^{3t}-e^{-3t}\bigr).

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