Questão 7 - Calcule a transformada inversa:
2) \frac{1}{s^{2}-3}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada inversa de
\frac{1}{s^{2}-3}.
Vamos usar propriedades da tabela de transformadas de Laplace, em especial as que envolvem funções hiperbólicas.

Passo 2

Recordando a tabela, temos
\mathcal{L}\{\operatorname{sinh}(at)\}(s)=\frac{a}{s^{2}-a^{2}}.
Isso significa que, para inverter uma fração da forma \frac{a}{s^{2}-a^{2}}, basta reconhecer a e aplicar a transformada inversa.

Passo 3

No nosso caso o denominador é s^{2}-3, logo identificamos
a^{2}=3 \quad\Longrightarrow\quad a=\sqrt{3}.
Reescrevendo
\frac{1}{s^{2}-3} =\frac{1}{\sqrt{3}}\;\frac{\sqrt{3}}{s^{2}-(\sqrt{3})^{2}}
vemos que é exatamente \frac{1}{\sqrt{3}} vezes a forma \frac{a}{s^{2}-a^{2}}.

Passo 4

Aplicando a transformada inversa, obtemos
f(t) =\frac{1}{\sqrt{3}}\;\operatorname{sinh}\bigl(\sqrt{3}\,t\bigr).

Resposta

f(t)=\frac{1}{\sqrt{3}}\operatorname{sinh}\bigl(\sqrt{3}t\bigr).

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