Questão 6 - Resolva usando transformada de Laplace.
2) \left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}-y=1, \\\ y(0)=0, \\\ y^{\prime}(0)=1 .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede resolver por transformada de Laplace o problema de valor inicial
\begin{cases} y'' - y = 1,\\\ y(0)=0,\\\ y'(0)=1, \end{cases}
ou seja, usar as propriedades \mathcal{L}\{y'\}=sY(s)-y(0)
e \mathcal{L}\{y''\}=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0)
para encontrar Y(s) e depois inverter para obter y(t).

Passo 2

Aplicando \mathcal{L} em ambos os lados de y''-y=1 temos
\mathcal{L}\{y''\}-\mathcal{L}\{y\} \;=\;\mathcal{L}\{1\} = \frac{1}{s}.
Substituindo as condições iniciais y(0)=0, y'(0)=1
\bigl(s^2Y(s)-s\cdot 0-1\bigr)\;-\;Y(s)\;=\;\frac{1}{s} \quad\Longrightarrow\quad s^2Y(s)-1 - Y(s) = \frac{1}{s}.

Passo 3

Agrupando Y(s) no lado esquerdo:
(s^2-1)\,Y(s) = \frac{1}{s} + 1.
Logo
Y(s) = \frac{\tfrac{1}{s}+1}{s^2-1} = \frac{s+1}{s\,(s-1)(s+1)}.

Passo 4

Fazendo frações parciais em \displaystyle \frac{s+1}{s\,(s-1)(s+1)} = \frac{A}{s}+\frac{B}{s-1}+\frac{C}{s+1}
obtém-se
A=-1,\quad B=1,\quad C=0,
ou seja
Y(s) = -\frac{1}{s} + \frac{1}{s-1}.

Passo 5

Invertendo a transformada de Laplace termo a termo:
\mathcal{L}^{-1}\Bigl(-\frac{1}{s}\Bigr) = -1, \quad \mathcal{L}^{-1}\Bigl(\frac{1}{s-1}\Bigr) = e^{t}.
Portanto
y(t) = e^{t} - 1.

Resposta

y(t) = e^{t} - 1

Exercícios relacionados