Questão 3. Calcule, utilizando coordenadas cilíndricas, a integral
\iiint_{E} z d V
em que E é o sólido exterior ao cone z=\sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}}{3}} e interior ao paraboloide z=x^{2}+y^{2}.
Res.: Em coordenadas cilíndricas a equação do cone é z=\frac{r}{\sqrt{3}} e a do paraboloide é z=r^{2}. A interseção das duas superfícies é obtida eliminando-se z, isto é, da equação \frac{r}{\sqrt{3}}=r^{2}, cujas soluções são: r=0 (o ponto (0,0,0) e r=\frac{1}{\sqrt{3}}. Portanto, a projeção do sólido sobre o plano x y é o disco r \leq \frac{1}{3}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iiint_{E} z\,dV
sendo E o sólido delimitado pelas superfícies
z = \sqrt{\frac{x^2+y^2}{3}} \quad\text{e}\quad z = x^2+y^2.
O método sugerido é usar coordenadas cilíndricas (r,\theta,z), onde
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad dV = r\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas as superfícies ficam
\text{cone: }z = \frac{r}{\sqrt{3}}, \qquad \text{paraboloide: }z = r^2.
Para encontrar a curva de interseção igualamos
\frac{r}{\sqrt{3}} = r^2 \quad\Longrightarrow\quad r\bigl(r - \tfrac1{\sqrt{3}}\bigr)=0
logo r=0 ou r=\tfrac1{\sqrt{3}}. A fronteira não trivial é r=\tfrac1{\sqrt{3}}.

Passo 3

Nessa região, para 0\le r\le\tfrac1{\sqrt{3}} verifica-se
r^2 \le \frac{r}{\sqrt{3}},
isto é, o paraboloide está abaixo do cone. Portanto o sólido E é dado por
0\le \theta\le 2\pi, \quad 0\le r\le \frac1{\sqrt{3}}, \quad r^2 \le z \le \frac{r}{\sqrt{3}}.

Passo 4

Montamos a integral em cilíndricas:
\iiint_{E} z\,dV = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1/\sqrt{3}}\!\int_{r^2}^{\,r/\sqrt{3}} z\;r\,dz\,dr\,d\theta.
Primeiro integramos em z:
\int_{r^2}^{\,r/\sqrt{3}} z\,dz =\Bigl[\tfrac{z^2}{2}\Bigr]_{r^2}^{\,r/\sqrt{3}} =\tfrac12\Bigl(\tfrac{r^2}{3}-r^4\Bigr) =\frac{r^2}{6}-\frac{r^4}{2}.
Multiplicando por r sobra o integrando em r:
r\Bigl(\frac{r^2}{6}-\frac{r^4}{2}\Bigr) =\frac{r^3}{6}-\frac{r^5}{2}.

Passo 5

Agora integramos em r:
\int_{0}^{1/\sqrt{3}}\Bigl(\frac{r^3}{6}-\frac{r^5}{2}\Bigr)dr =\Bigl[\frac{r^4}{24}-\frac{r^6}{12}\Bigr]_{0}^{\,1/\sqrt{3}} =\frac{1}{24}\cdot\frac{1}{9}-\frac{1}{12}\cdot\frac{1}{27} =\frac{1}{216}-\frac{1}{324} =\frac{1}{648}.

Passo 6

Finalmente integramos em \theta:
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi,
logo
\iiint_{E}z\,dV =2\pi\cdot\frac{1}{648} =\frac{\pi}{324}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{324}

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