Questão 3. Calcule, utilizando coordenadas cilíndricas, a integral
em que
é o sólido exterior ao cone
e interior ao paraboloide
.
Res.: Em coordenadas cilíndricas a equação do cone é
e a do paraboloide é
. A interseção das duas superfícies é obtida eliminando-se
, isto é, da equação
, cujas soluções são:
(o ponto
e
. Portanto, a projeção do sólido sobre o plano
é o disco
.
Res.: Em coordenadas cilíndricas a equação do cone é
Passo 1
O enunciado pede para calcular
sendo
o sólido delimitado pelas superfícies
O método sugerido é usar coordenadas cilíndricas
, onde
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas as superfícies ficam
Para encontrar a curva de interseção igualamos
logo
ou
. A fronteira não trivial é
.
Passo 3
Nessa região, para
verifica-se
isto é, o paraboloide está abaixo do cone. Portanto o sólido
é dado por
Passo 4
Montamos a integral em cilíndricas:
Primeiro integramos em
:
Multiplicando por
sobra o integrando em
:
Passo 5
Agora integramos em
:
Passo 6
Finalmente integramos em
:
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