Questão 2. Calcule, utilizando coordenadas esféricas, a integral
\iiint_{E} \frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \mathrm{~d} V
em que E é o sólido limitado pelo cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} e pelo plano z=2.
Res.: O cone, em coordenadas esféricas, tem equação \varphi=\frac{\pi}{4}. A equação do plano z=2, em coordenadas esféricas, é \rho=\frac{2}{\cos \varphi}. Assim, variação de \varphi será 0 \leq \varphi \leq \frac{\pi}{4} e a variação de \rho será 0 \leq \rho \leq \frac{2}{\cos \varphi}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iiint_{E}\frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\,\mathrm{d}V
onde E é o sólido limitado pelo cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} e pelo plano z=2.
O conteúdo principal aqui é a mudança para coordenadas esféricas, em que podemos explorar a simetria radial da integranda.

Passo 2

Em coordenadas esféricas definimos
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z=\rho\cos\varphi,
com Jacobiano
\mathrm{d}V=\rho^{2}\sin\varphi\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\theta.
A integranda fica
\frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}} =\frac{1}{\rho^{2}},
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\frac{1}{\rho^{2}}\;\rho^{2}\sin\varphi =\sin\varphi
e a integral tripla se reduz a \displaystyle\int\!\!\int\!\!\int \sin\varphi\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\theta.

Passo 3

Precisamos traduzir as fronteiras em esféricas:
  • O cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} implica \varphi=\pi/4.
  • O plano z=2 \rho\cos\varphi=2, ou seja \rho=2/\cos\varphi.
    Assim
0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le\varphi\le\frac{\pi}{4},\quad 0\le\rho\le\frac{2}{\cos\varphi}.

Passo 4

Montando a integral em esféricas:
\int_{\theta=0}^{2\pi}\!\!\int_{\varphi=0}^{\pi/4}\!\!\int_{\rho=0}^{2/\cos\varphi} \sin\varphi \,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\theta =2\pi \int_{0}^{\pi/4} \sin\varphi \Bigl[\rho\Bigr]_{0}^{2/\cos\varphi} \,\mathrm{d}\varphi
=2\pi \int_{0}^{\pi/4} \sin\varphi\;\frac{2}{\cos\varphi} \,\mathrm{d}\varphi =4\pi \int_{0}^{\pi/4} \tan\varphi \,\mathrm{d}\varphi.
Como \displaystyle\int\tan\varphi\,\mathrm{d}\varphi=-\ln\bigl|\cos\varphi\bigr|, temos
4\pi\Bigl[-\ln\bigl(\cos\varphi\bigr)\Bigr]_{0}^{\pi/4} =4\pi\bigl(-\ln(\tfrac{\sqrt2}{2})+\ln(1)\bigr) =4\pi\Bigl(\tfrac12\ln2\Bigr) =2\pi\ln2.

Resposta

2\pi\ln2.

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