Questão 2. Calcule, utilizando coordenadas esféricas, a integral
em que
é o sólido limitado pelo cone
e pelo plano
.
Res.: O cone, em coordenadas esféricas, tem equação
. A equação do plano
, em coordenadas esféricas, é
. Assim, variação de
será
e a variação de
será
.
Res.: O cone, em coordenadas esféricas, tem equação
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
é o sólido limitado pelo cone
e pelo plano
.
O conteúdo principal aqui é a mudança para coordenadas esféricas, em que podemos explorar a simetria radial da integranda.
O conteúdo principal aqui é a mudança para coordenadas esféricas, em que podemos explorar a simetria radial da integranda.
Passo 2
Em coordenadas esféricas definimos
com Jacobiano
A integranda fica
logo
e a integral tripla se reduz a
.
Passo 3
Precisamos traduzir as fronteiras em esféricas:
- O cone
implica . - O plano
dá , ou seja .
Assim
Passo 4
Montando a integral em esféricas:
Como
, temos