Questão 3. Utilizando coordenadas esféricas, calcule a integral
em que
é o sólido exterior ao paraboloide
e interior à esfera
.
Res.: O paraboloide tem equação
, ou seja,
. A esfera tem equação
. Logo, a interseção das duas superfícies é dada pela equação
ou seja, ela ocorre quando
.
Logo,
Res.: O paraboloide tem equação
Logo,
Passo 1
O enunciado pede o cálculo da integral tripe
na região
que fica exterior ao paraboloide
e interior à esfera
. Vamos usar coordenadas esféricas para resolver.
Passo 2
Em coordenadas esféricas temos
logo
Assim o integrando vira
Passo 3
As superfícies em esféricas são
esfera: ,
paraboloide:
Elas se intersectam quando
esfera:
paraboloide:
Elas se intersectam quando
Para
temos
variando de
a
e
.
Passo 4
A integral torna-se
ou seja
Passo 5
Calculemos cada termo:
Logo