Questão 2. Utilizando coordenadas cilíndricas, calcule a integral
\iiint_{E} z d V
em que E é o sólido limitado pelos paraboloides z=8-x^{2}-y^{2} e z=x^{2}+y^{2}.
Res.: Em coordenadas cilíndricas as equações do paraboloides são z=8-r^{2} e z=r^{2}. A interseção dos paraboloides, dada por 8-r^{2}=r^{2} é o círculo r=2. Assim,
E=\left\{0 \leq \theta \leq 2 \pi, 0 \leq r \leq 2, r^{2} \leq z \leq 8-r^{2}\right\}
é a descrição de E em coordenadas cilíndricas. Logo,
\begin{aligned} \iiint_{E} z d V & =\iiint_{E^{\prime}} z r d V^{\prime} \\\ & =\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2} \int_{r^{2}}^{8-r^{2}} z r d z d r d \theta \\\ & =\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2} \frac{\left(8-r^{2}\right)^{2}-\left(r^{2}\right)^{2}}{2} r d r d \theta \\\ & =\frac{1}{2} \int_{0}^{2 \pi} d \theta \int_{0}^{2}\left(64 r-16 r^{3}\right) d r \\\ & =\pi\left(64 \frac{2^{2}}{2}-\frac{16}{4} 2^{4}\right)=64 \pi \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \iiint_{E} z\,dV, onde E é o sólido limitado pelos paraboloides z=8 - x^{2}-y^{2} e z=x^{2}+y^{2}. Vamos usar coordenadas cilíndricas (r,\theta,z), em que
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,
e o elemento de volume é
dV = r\,dr\,d\theta\,dz.

Passo 2

Em cilíndricas, os paraboloides ficam
z = 8 - r^{2}
e
z = r^{2}.
Para achar a curva de interseção, igualamos
8 - r^{2} = r^{2}
o que dá r^{2}=4 e, como r\ge0, r=2. Logo, E é descrito por
0 \le \theta \le 2\pi,\quad 0 \le r \le 2,\quad r^{2} \le z \le 8 - r^{2}.

Passo 3

Escrevemos a integral em cilíndricas:
\iiint_{E} z\,dV = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}\int_{r^{2}}^{8 - r^{2}} z\;r\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 4

Integramos primeiro em z:
\int_{r^{2}}^{8 - r^{2}} z\,dz = \left[\frac{z^{2}}{2}\right]_{r^{2}}^{8 - r^{2}} = \frac{(8 - r^{2})^{2} - (r^{2})^{2}}{2} = 32 - 8r^{2}.
A integral passa a ser
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} (32 - 8r^{2})\,r\,dr\,d\theta = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} (32r - 8r^{3})\,dr\,d\theta.

Passo 5

Agora integramos em r:
\int_{0}^{2} (32r - 8r^{3})\,dr = \left[16r^{2} - 2r^{4}\right]_{0}^{2} = 16\cdot4 - 2\cdot16 = 32.
Fica então
\int_{0}^{2\pi} 32\,d\theta = 32\cdot 2\pi = 64\pi.

Resposta

64\pi

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