Questão 2. Utilizando coordenadas cilíndricas, calcule a integral
em que
é o sólido limitado pelos paraboloides
e
.
Res.: Em coordenadas cilíndricas as equações do paraboloides são
e
. A interseção dos paraboloides, dada por
é o círculo
. Assim,
é a descrição de
em coordenadas cilíndricas. Logo,
Res.: Em coordenadas cilíndricas as equações do paraboloides são
Passo 1
O enunciado pede para calcular
, onde
é o sólido limitado pelos paraboloides
e
. Vamos usar coordenadas cilíndricas
, em que
e o elemento de volume é
Passo 2
Em cilíndricas, os paraboloides ficam
e
Para achar a curva de interseção, igualamos
o que dá
e, como
,
. Logo,
é descrito por
Passo 3
Escrevemos a integral em cilíndricas:
Passo 4
Integramos primeiro em
:
A integral passa a ser
Passo 5
Agora integramos em
:
Fica então